１．はじめに

日頃の授業の中で，子どもたちに問題解決の見通しをもたせることを意識している。何らかの解決の見通しが持てれば，子どもたちは同じ土俵に上がり，問題解決に向けて思考を進めることができると考える。そのために，解決の見通しを個人で考え，交流する場を設定している。そうすることで，個では解決の糸口が見つけられない子どもも，交流活動を通して，「こう考えればいいのかも」という解決へのヒントが開け，問題解決へ向けて思考を進めることができると考える。また，自力で問題解決できることで，その過程で使った見方や考え方のよさを実感し，「次も使ってみようという」次時へ向けての意欲の喚起へもつながっていくと考える。

２．授業実践

(１)　単元名「比例と反比例」

(２)　単元について

私たちが生きている社会の中には，関数の関係となっている事象は多く存在する。例えば，電話料金や水道料金などの公共料金は，典型的な関数の例である。また，自然界における様々な現象を，関数を用いて表したり，環境問題などのシミュレーションに用いられたりするなど，非常に応用分野は広い。関数は現代社会の様々な事象と密接に関わっており，より良く生きるためにも，関数的な見方や考え方を身に付けることは非常に重要である。

事象を関数関係としてとらえ，追究していくためには，それらを数値化して処理し，その推移を明らかにすることが必要である。そのとき，式，表，グラフは極めて有効である。小学校では，数量の関係を表や式，グラフにして考えることや，比例の関係について学習している。こうした学習をもとに，中学校第１学年では，伴って変わる２つの数量について，表，式，グラフを正しく使い，相互に関連付けながら変化を考察することが求められる。また，比例や反比例に関して，変数の範囲が負の数まで拡張されることや，座標や変域の理解，さらには関数関係の意味理解を洗練し，「関数」の概念を拡げ深めることも重要である。

そこで本単元では，表，式，グラフを相互に関連付けて活用しながら，変化と対応といった観点で事象をとらえ，負の数まで拡張された比例と反比例に対する理解を深めるとともに，関数という概念を理解させ，数理的な考察や追究に活用できるような素地をつくることがねらいである。またここでの学習は，第２学年の１次関数，第３学年の２乗に比例する関数の学習の基盤となるところでもあり，大変価値がある。

本学級の子どもを対象に，事前調査を行ったところ，「比例の学習に関心があるか」という質問に対して，3.2（５段階自己評価尺度法の学級平均値，以下同）であった。その理由として，評定が高い子どもは，「規則を見つけ出すのが楽しい」，「規則を式にすればいいので簡単」などを挙げており，逆に評定の低い子どもは，「意味が分からない」「普段使わない」と答えている。また，問題に取り組む姿勢として，「問題を解けた後，その解き方でいいのかふり返るか」については3.5，「問題が解けた後，他の方法がないか考える」については，3.2という結果だった。

また，数量を式に表すことができた子どもは80%，数量関係の問題が解決できた子どもは55%，方程式を利用して問題が解決できた子どもは65%，２つの数量関係が比例であることを見極めることができた子どもは75%，そのなかでその根拠が説明できた子どもは52%であった。

以上のことから，本学級の子どもは，関数の学習への興味・関心が高いとは言えず，その有用性も実感できていないと考える。また，自分の解き方を見直したり，他の方法を追究する意欲が乏しく，自分なりに問題が解ければそれでいいと思っている子どもがいる。また，知識・技能面の定着は高いが，根拠を説明することや，少し複雑な数量関係の問題には十分に対応できておらず，数学的な見方や考え方に関しては，知識・技能面よりも育っていないと分析できる。

そこで，本単元の指導では，事象の中からともなって変わる２つの数量の変化に課題を見いだし，関数の学習に対する見通しをもち，根拠を明らかにして比例と反比例の数理を構成し，比例や反比例の見方や考え方のよさを認識することができるようにすることをねらいとする。そのために，次のような手だてをとる。

• 第一次においては，ともなって変わる２つの数量の変化に課題を見いだし，関数の学習に対する見通しをもつことができるように，窓を開けるとき，時間とともに変わっていくものを見つけ出したものや，その変化の様子や対応の仕方を表や式を使って調べ考察したことを交流する活動を設定する。
• 第二次においては，比例と反比例の特徴を，式，表，グラフと相互に関連づけて考察し，根拠を明らかにして比例と反比例の数理を構成することができるように，問題解決できた考え方や着眼点を交流する活動を設定する。
• 第三次においては，比例や反比例の見方や考え方のよさを認識できるように，問題を解決できた根拠となる考え方や着眼点を振り返り，その必要性や有用性を交流し合う活動を設定する。

(３)　単元計画（15時間）

(４)　目標

• ① 取り出した２つの数量の変化や対応の様子を意欲的に調べようとするとともに，積極的に表や式，グラフを活用して考察し，説明しようとしている。

  （数学への関心・意欲・態度）

• ② 事象から取り出した２つの数量の変化や対応の様子に対し，比例や反比例について表や式，グラフを用いるとともに関連付けて考察し，説明することができる。

  （数学的な見方や考え方）

• ③ 比例や反比例について，その変化と対応の様子を表や式，グラフで表すことができるとともに，それらを考察に用いることができる。

  （数学的な技能）

• ④ 座標の意味，及び比例，反比例の表，式，グラフの特徴や意味を理解することができるとともに，関数関係について理解することができる。

  （数量や図形などについての知識・理解）

(５)　本時のねらい

前時までに子どもは，事象の中にあるともなって変わる２つの数量の関係に比例や反比例があることを知り，それぞれについて，表，式，グラフと相互に関連付けながら特徴を考察し理解してきていいる。

そこで本時は，視力検査表にひそむともなって変わる２つの数量関係の見通しをもち，その関係を根拠を明らかにして筋道立てて説明し，比例や反比例の見方や考え方のよさを認識することができるようにすることをねらいとする。そのために，次のような手だてをとる。

• 視力検査表に潜むともなって変わる２つの数量関係の見通しをもつことができるように，思い浮かんだことをふきだしに記入し，それを交流する活動を設定する。
• 視力検査表に潜むともなって変わる２つの数量関係を，根拠を明らかにして説明することができるように，考え方や着眼点を交流する活動を設定する。
• 比例や反比例の見方や考え方のよさを認識することができるように，問題を解決できた根拠となる考え方や着眼点を振り返り，その必要性や有用性を交流する活動を設定する。

(６)　本時の学習過程

(７)　授業の実際と考察

本段階（第三次）では，比例や反比例の見方や考え方のよさを認識することができるようにすることをねらいとして，【資料１】のような，視力検査表の中にあるランドルト環と視力の関係を探る問題を提示した。

まずはじめに，子どもは，ランドルト環と視力の関係について思い浮かんだことをふきだしに記入し，その後，交流活動を設定した。「ランドルト環が小さくなるほど，視力の数字が大きくなる」，「この２つの関係は反比例ではないか」，「表やグラフにまとめてみる，規則性がありそうだから」などの発言があり，これらのふきだしを関連のあるもの同士でわけて板書し，矢印でふきだしに順序性をもたせた。そこで，ランドルト環の大きさとはどこのことなのかを確認した後，子どもは自分なりの見通しを記入し，ふきだしの順序性を手がかりとして，自力解決していった。【資料２】は子どもの見通し，【資料３】は子どもの考えの記述である。

【資料４】のように自力解決後，お互いの考え方を説明し合い見直す交流活動を設定し，自分が調べたランドルト環の大きさはどこなのか，また，視力とランドルト環の大きさの関係とその根拠について説明し合った。その後，【資料５】のように，自分の考えを見直し，そういえる根拠が人に伝わるように付加修正した。

その後，交流活動を設定し，気づいたことを交流し合った。「視力とランドルト環の大きさはどこでも反比例の関係にある」，「（視力）×（ランドルト環の大きさ）＝（一定）になっている」，「反比例かどうか調べるときは，伴って変わる２つの数量をかけてみるとすぐ分かる」などの発言があった。

この後，学習の振り返りを記入した。【資料６】のような記述があった。「とても身近なところに数学の反比例が隠れていて驚いた」，「この反比例の式を使えば，0.01のランドルト環も作れる」，「反比例は２つの積が等しくなっていれば成り立つので，判断がしやすい」などの記述があった。このことから，子どもは，反比例が日常生活に使われていることのよさや，反比例の見方や考え方のよさを認識することができたと考える。

【資料４】子どもの様子

【資料１】提示した問題

<問題>
視力検査で使う視力検査表には，「Ｃ」が大小たくさん並んでいます。この「Ｃ」のことを，ランドルト環といいます。
視力検査表にひそむ伴って変わる２つの数量関係を見つけ出し，その関係について考えましょう。

【資料２】子どもの見通しの記述

【資料３】子どもの解法

【資料５】付加修正した子どもの解法

【資料６】子どもの振り返りの記述

(８)　成果と課題

①　実践の成果

○子どもたちの身近にある視力検査表を教材として使ったことで，自分の身近なところに反比例などの関数関係が潜んでいることを知り，興味・関心を持たせることができた。

○身近にある視力検査表の中にも，反比例の式・表・グラフの関係があることや反比例の関係を表す「積が一定」が存在すること，また，その判断の便利さを感じることで，反比例の見方や考え方のよさを実感することができた。

○子どもの振り返りの記述内容から，「この反比例の式を使えば，0.01のランドルト環も作れる」とあったように，自分オリジナルのランドルト環を作りたいという，これからの生活に生かしていく意欲を持たせることができた。実際に，0.03の視力が測れるランドルト環を作って，見せてくれた子どもがいた。

②　実践の課題

●問題の設定を，「視力検査表に潜む関係を見つけ出そう」よりも，「0.03の視力が測れる視力検査表を作ろう」とした方が，より子どもの興味・関心を引きつけることができると考えた。

３．おわりに

単元の導入の段階や日々の授業の中で，今回の実践のような，子どもたちにとって身近な場面の中での課題を設定することによって，学習に対する興味・関心や意欲を喚起することができると考える。
また，その課題を解決する見通しを持たせることも重要である。そのためには，結果や内容，方法の３つに関する見通しを持たせることができる問題や，発問の工夫が必要である。

これらの視点を意識しながら日々の教材研究を行い，よりよい問題や発問について，これからも追求していきたいと考える。

【参考文献】