ソーマキューブを数学的に解析することを目指した数学的活動

１．生徒の実態

本校は中高一貫の私立の男子校である(平成29年度より男女共学)。本校に入学してくる生徒に共通する特徴として，計算力もあり，定型問題に強いが，少し見方を変えられると途端に対応できなくなる等，本質的な理解に至っていない。これを改善すべく，授業において，こちらの説明を鵜呑みにするのではなく，疑ってかかることを求めてきた。こちらも思考を促すような発問を投げ掛け，議論を重ねることで理解を深めることを目標とした授業を展開するよう心掛けている。

２．実践の内容

中学２年の３学期より高校内容の数学を指導している。今回は中学３年における数学Aの『場合の数，確率』の授業実践に関して紹介したい。中学１年時にも場合の数に触れているが，入学前の段階ですでにPやCの記号を知っている生徒が６割程度いた。しかし，意味を理解した上で使えている生徒は皆無であった。道具は使い方を誤ると危険である。使い方の説明はあったかと思うが，新しく道具を得た喜びが勝り，説明が耳に入らなかったのであろう。手持ちの道具の危うさを実感してもらうべく，まず私は下記の問題に取り組ませる。

1996年の東京大学の問題の改題である。この問題には場合の数の本質が詰まっており，１時間掛けて，議論を重ねることで，非常に理解が深まると考える。この問題を皮切りに，理解を深めることに重点をおき，場合の数，確率の授業を展開した。この単元の最後の授業として，ソーマキューブを用いた授業を行った。

３．教材のねらい

ピート・ハインが考案したパズル“ソーマ”を数学的に解析することを念頭においた教材である。既習単元である「場合の数」の数学的活動を促す課題学習として位置付けている。グループでの活動も検討したが，１人１人が実際に立方体の木片を手に取り，様々な角度から立体を見て，考察する経験こそが重要であると考え，クラス全員分の教材を用意して，個人での活動を重視した。小学校の時から立体図形を苦手にする生徒は多く，その意識を改善する一助になることも期待できる。目の前の立体を手にしながら考えることで立体の理解も深めることができる。

自身で製作した立体を組み合わせて，立方体を作る作業は童心に返ったようで単純に楽しい。ただ，それだけに止まることなく，組み立て方の総数を考え，議論し，手順を考えることも重要な観点である。

４．実際の授業

１辺３cmの立方体（木片）31個のセットを生徒全員に配付し，以下の課題を与えた。

課題１

「立方体の面を最大４個繋げて，立体を作るとき，何種類の立体ができるか。ただし，直方体は除く。」

最終的にはボンドにより木片を繋ぎ合わせるが，机上に立体を作りあげる作業に徹しさせる。立体を作るためには木片を３個以上繋ぐ必要があること，および３個の木片によりできる立体はただ１種類であることは即座に理解できる。４個の木片により構成される立体の種類を考えることを主眼においた課題である。３個の木片による１種類と合わせて，６種類と７種類の２通りの考えに大別される。７種類を主張する生徒の机上を電子黒板に投影する（図１）。６種類と主張する者は⑤,⑥を同一とみなしている。⑤,⑥において，一方を回転させたとしても，他方と一致しないことを確認させる。７種類であることを確認させた後，ボンドで接着。

課題２

５．まとめと課題

木片を31個用意した理由は課題１において，８種類目の可能性を残すためである。７種類の組み立てに苦労する者もいるが，個々に応じた課題を与えることは意識している。課題２以降も２つの課題が出てきたが，いずれも生徒から自発的に出されたものである。これは大きな成果であったと考える。記録の取り方などは空間を平面に置き換え，分析する。簡単なことのようで意外とできないことではないだろうか。作業を進めるなかで，課題を見つけ，解決方法を探る。発表を聞き，生徒間で議論を重ね，理解を深める。一見時間を要するが，理解を深め，定着に繋げるには最善の方法であると考える。また，立体図形を実際に手に取ることも重要なことである。映像教材など様々なツールが出てきてはいるが，手に取り，様々な角度から立体を眺めることに勝るものはない。

先に述べたように，この実践は既習単元である「場合の数」の数学的活動を促す課題学習として位置付けた。なお，課題３は「立方体の組み立て方は何通りあるか。」であったが，この問いは高校数学を超越したものであり，現段階において解答することは困難である。入試問題に捉われない題材で数学的活動を展開できたことは大きな成果であった。