球の体積・表面積
～実験から公式を～

１．はじめに

数学・理科においては，今年度（平成24年度）から新学習指導要領の先行実施が始まった。この新教育課程では表題の単元『球の体積・表面積』は中学１年生へと移行されているので，高等学校では扱われないことを先にお断りしておく。

平成23年度まで実施の数学Ⅰには，単元『球の体積・表面積』が存在した。この球の体積・表面積の公式を厳密に証明するためには，数学Ⅲの学習まで待たねばならず，数学Ⅲを履修しない多数の高校生にしてみれば，生涯の中で公式を丸呑みにした形で学習を終えてしまうのが現状である。

２．実践内容

数学Ⅰ『球の体積と表面積』（旧課程）

３．目的

厳密には証明できない球の体積・表面積の公式を，実験により成り立つことを体験させること。

実験を通して公式を学ばせることにより，着実な定着を図る。

４．実験の原理

球の体積測定	…	水で満たしたバケツに球を沈めたとき，押しのけた水の量が球の体積である
球の表面積測定	…	球の表面を覆うように巻き付けたロープを面積が求められる他の図形に敷き詰めたとき，その面積が球の表面積である

５．実験教具作りに使用したもの

６．実験教具の作成

（１）スタンド作り【図１】

（２）球の体積を測る円筒容器作り【図２，３】

（３）球の表面積をロープで覆う【図４，５】

（４）円の面積をロープで覆う【図６】

（１）（２）で球の体積を，（３）（４）で球の表面積を測定する。

７．実験手順

（１）球の体積測定

• ①　円筒容器をスタンドの下に置く。
• ②　着色した水をバケツに満たす。表面が盛り上がらない所までにする。
• ③　球を静かにバケツに沈めていく。発泡スチロール製の球であるので，下敷きなど平らな物で押しつけながら完全に沈める。
• ④　円筒容器に集められた溢れた水が容器のどの高さにまで達しているか測る。

（２）球の表面積測定

• ① 球に巻き付けたロープを外す。
• ② ２つの円に巻き付けたロープを外す。
• ③ ２本のロープをまっすぐに伸ばし，長さを比べる。

８．授業の展開

今回は，教卓上でクラスの代表生徒に実験をさせ，教卓の周囲に他の生徒を集めた。

（１）球の体積での操作

• ① 球と同じ円筒容器であることを確認させる。
• ② バケツに水をぎりぎりまで注がせる。
• ③ バケツの水の中に，静かにかつ完全に球を沈めさせる。

（２）球の表面積での操作

• ① あらかじめ球の上半分と４つの円が描かれた下敷きの２つにロープを巻き付けたものを渡し，球の直径と円の直径が等しいことを確認させる。
• ② 球と円に巻き付けたロープを両面テープから剥がさせる。
• ③ 剥がしたロープの両端を持たせ，長さを比べさせる。

簡単な図とともに，以下の内容を板書し，公式とした。

９．授業実践後の感想

生徒の反応は概ね良好であった。高校数学の授業は講義形式ばかりで展開されてきているから新鮮であったと思う。このときばかりは，日頃授業では見せたこともない積極性を見せてくれる生徒も多い。この授業に関しては「楽しかった，面白かった，次もこんな授業が良い」等の感想をもらえた。

私もこの実験が好きであるから，この単元を実施するたび，必ず実験してきた。その都度，少しずつ授業展開も変えたり（教卓の上で生徒の代表者を選び実験させたり，グループを作らせ，グループごとに実験器具を使って公式を導かせたり）して，同じ実験でも毎回異なる授業をしているような感覚であった。また，最初にこの実験を行ってから７年経っても毎回「こうすればもっと良かったんじゃないか」「次はこうしよう」という気づきがあり，次回の修正に役立っている。こういうところも私自身がこの実験が好きな理由だと考える。その中で，初回実験時からの相違点・改善点を挙げてみた。

初めて実施したときと今回実施の相違点

初回	今回	理由
実験に用いる球の直径を計測させた	直径の計測をしなかった	時間の短縮のため
円筒容器に溜まった水の高さをものさしで計測させた	円筒容器の側面に３等分線を入れた	公式の確認に充分であったため
直径５cm程度の球を使用した	直径10cm程度の球を使用した	誤差を小さくするため （初回時は，３回計測し，平均値を出させた）

10．おわりに

実際に机上で証明できることに感動し，数学の面白さを感じてもらえるように授業することがまず大事と考える。一方，紙面から飛び出してやってみようという今回の試みは，生徒のためであるとは言いつつも私自身にも大いに面白さ・奥深さを与えてくれたのは間違いない事である。