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授業実践記録(数学)

「まだわかっていない数は,本当にひとつなのだろうか」
~自分の思いや考えを伝えあう力を伸ばすために~
―第1学年 方程式―

長野県上田市立塩田中学校 下﨑 総子

1.はじめに

(1)本校の紹介

本校は上田市内を流れる千曲川の川西地区に位置し,東に独鈷山,西には浅間山を眺めることのできる塩田平の中央に位置している。来年度,創立55周年を迎える本校は,学級数21学級,生徒数618人の市内でも大規模で歴史ある学校である。玄関前には『学海の碑文』がある。

その碑には,1225年ごろ,大明国師が塩田に来て天台宗の学問をしたことが記されている。当時,塩田は信州の学問の盛んな地として知れ渡り,遠方から多くの人々が集まり,無駄な日がないほどよく勉強をしたと刻まれている。

本校の生徒は,明るく人懐こく素直な気持ちを持っている。反面,受け身な部分が少なくなく,自分の思いを言葉に表して表現することに抵抗感を持つ姿が授業の中,生活の中で目に付く。結果,コミュニケーション不足による対人関係の未熟さや協力してよりよい集団生活を築いていこうとする意識が継続しない面を持っている。

(2)全校研究テーマと数学科の取り組み

本校では,過去3年間「楽しい授業」を研究テーマの中心に据え研究を進めてきた。
その結果,

  • ○教材の工夫や学習形態の工夫を積極的に取り入れるようになった。
  • ○以前よりも生徒の気持ちを理解し,声に耳を傾けることを,意識をするようになった。

といった一定の成果を得ることができた。同時に,

  • △生徒が「楽しい」と感じるのはどんなこと,時なのか。
  • △受け身の学習では,学力向上に限界があるのではないか。
  • △確かな学力をつけるべきではないか。

などの課題が残された。

本年度は,生徒の実態をとらえ直す中で,相互のかかわりを深めていくことが,より一層力を伸ばし,自他のよさに気づく授業につながるのではないかと考え,「人との関わりから『わかる喜び』『できる喜び』が実感できる教科指導~コミュニケ―ション力をキーワードとして~」を全校研究テーマに据え,日々の授業を積み重ねてきている。

長野県教育委員会実施の「平成24年度 学力向上のためのPDCAサイクルづくり支援事業」のP調査問題に本校2年生が国語,数学,英語の問題に参加した。

数学の問題は以下の5題である。

問 題 県平均との
比較
【1】 正負の計算
18-12÷(-3)
マイナス
【2】 関数
比例の関係 y=-2xのグラフをかきなさい。
プラス
【3】 一次方程式
一次方程式2x-1=x+1の解を求めるために,左辺,右辺のxに-2から4までの整数をそれぞれ代入して,左辺,右辺の値を調べ,正しいものを4つから選択する問題。
マイナス
【4】 空間図形
直角三角形ABCを,直線ACを軸として1回転させて立体をつくります。できる立体の体積を求めなさい。

(円周率はπ)

マイナス

【5】 文字を用いた式
右の図のように1辺に同じ個数のご石を並べて,正方形の形をつくります。山本さんは,1辺に並べるご石の個数をx個として,全体のご石の個数を,4x-4(個)と4(x-1)(個)の2つの式で表しました。

そして,4x-4(個)について,どのようにご石を囲んで考えたのかを,下のように説明しました。

4x-4(個)について,どのように石を囲んで考えたのかを,上の説明を参考にして説明しなさい。(囲んだ部分が分かるように図に をかき込むこと)

マイナス

調査結果から,数学的な表現を用いて説明する問題に苦手意識があり,何を答えたらよいのか迷ったり,手がつけられなかったりという課題が明らかになった。授業での生徒の様子や定期テストでの答え方などと合わせてみると次のようなことが考えられる。

  • ① 式の中に文字を含むと,抵抗がある。
  • ② 文章を読んで答える問題は,文章を読むことすら億劫になってしまう。
  • ③ 言葉や文章で答えたり記述したりする問題への苦手意識が高いこと。

これらの結果から,自分の考えを説明したり,言葉で書いたりすることを積極的に授業へ取り入れなければならないことがみえてきた。授業の中で,自分の考えていることや,他の人の考えを相互に伝えあうことが必要なのではないか。そして,このことが,コミュニケ―ション力を鍛えていくことにもつながるのではないかと考える。

授業の中では,

  • ① 互いに困っていることを出し合う。
    ⇒授業の課題把握の段階で,自分の近くの人と関わる。気楽に疑問や困っていることを話してみる。同じことで困っている,心配しているといったことが互いにわかり安心できる。
  • ② 班ごとに話し合いの中身を焦点化したうえで,説明したり,聞いたり,質問する時間を確保することを意図的に仕組む。
    ⇒授業の共同追究の段階で,机を合わせグループにして,自分の書いたものを手がかりに,学習課題を解決していく方法について情報交換をする。場合によっては,意図的に,考え方や方法の同じ人,または,別な考え方や別な方法で答えを示している人を組み合わせて意見交換をさせることによって,考え方の広がりや自分の考えの修正が期待できる。
  • ③ 数学的な用語を使用しての説明の仕方,書き方を丁寧に指導する。

などを手立てとし授業改善を探っていきたい。

数学の授業の中で,他の人と関わり,コミュニケーションをどのようにとっていけばいいのか。「コミュニケーション」をキーワードとして,学習展開を仕組み,自分の思いや考えを伝えあう力を伸し,生徒がわかる喜びやできた喜びを実感できる学習を充実させていきたいと考える。

(3)「計算三角形」とコミュニケーション

「自分の思いや考えを伝えあう力を伸ばすために,よく知られている教材ではあるが,今回は「計算三角形」を活用することにした。小学校低学年では,加法・減法の計算の習熟に活用されることが多い。しかし,ここで,「本当にこの数字でいいのだろうか」と発問すると,中学生にとっては,「他にもありそうだ」,「違う組み合わせでも成り立つかも」「負の数だって入るかもしれない」と今までの学習経験から,興味を持つとともに,多様な考えを多くの生徒が持つことが予想される。そして,計算三角形の6つの数字の間にある関係性に注目し,それを式で表現できることが,この教材のもつよさと考える。その文字を含んだ式をつくる場面を,生徒同士のコミュニケーションにゆだねてみたい。生徒同士のやり取りの中で,おそらく,「6つの数の関係」に注目したり,文字を使った等式を作ってみたり,順に数をかえて規則性に着目したりする場面が作れるのではないか。互いの主張を伝えやすくするために,班に1枚ずつホワイトボードを配布することによって「わかっていない数は,本当にひとつしかない」ことが根拠をもって話せることがねらえるのではないかと考える。

2.授業実践

(1)単元名 中学1年 第3章 「方程式」

(2)単元について

文字を使わなくても□の中の数字を求めることは,小学校で逆思考的な方法で解いたり,種々の工夫をしたりしながら問題を解いてきている。中学校では,文字xを使って,数量関係を等式に表し,その等式を成り立たせる文字の値を求めていく。このまだわかっていない文字xは一つに決まることを理解させたい。そして,方程式の解を形式的・数学的に解くことを習熟させたい。

(3)単元の目標と指導計画

  • ① 方程式とその解の意味について理解する。
  • ② 等式の性質を見いだし,それを利用して式を変形することで,方程式が解けることを知る。
  • ③ 一元一次方程式の解法を理解し,その解法に習熟する。
  • ④ 比例式を解くことができるようにする。
  • ⑤ 方程式を問題解決に利用することができるようにする。
1節 方程式 1 方程式とその解き方 3時間
2 方程式の解き方 4時間
3 比と比例式 1時間
2節 方程式の利用 1 方程式の利用 5時間

(4)本時のねらい

計算三角形の空欄の数を求める場面で,グループ活動の中で,根拠をもってこの数に決まることを説明することを通して,自分の思いや考えを伝えあい,文字xの値は,ただ一つに決まることを理解する。

(5)本時の位置 全15時間中の第1時

次時:等式の性質を理解し,それを利用して方程式を解く。

(6)本時の展開

段階 学習活動 予想される生徒の反応・会話 指導・助言
評 価















1,「計算三角形」のルールを知り問題を解く *となりあう2数の和を外の〔〕へかけばいいんだな。 *簡単にできそうだ。 *ちょっとちがうタイプだけど,できそうだ。 *6つの場所のうち,3つわかればできそうだ。
【学習問題】
計算三角形の6つの数字のうち3つがわかっていれば,残りの数字は求められるだろうか。
*この数字でいいのかな。他の組み合わせもあるのかな。 *数字同士に関係はあるのかな。
周りだけ足すと,中の和の2倍になりそうだ。
◇黒板に正三角形をかき,中を三等分,それぞれの辺に〔〕をのせて書く。 ◇三角形の中の三等分したところに一つずつ数字を入れて,外の〔〕に入る3つの数字を考えさせる。 ◇3つがわかっている計算三角形を提示し,空欄に入る数字が決められるか考えさせる。 ◇この6つの数字の値の関係にきまりがないか目を向けさせる。





2,外側3つの数字しかわかっていないタイプの解き方を考える


3,どうやってみつけたか情報交換をする
【学習課題】
計算三角形の外の〔〕だけしかわかっていないとき,その外の数字はどうやって求めるのだろう
*勘ではできなさそうだ。 *どこから決めたらいいのかわからない。 *負の数の組み合わせもあるのかな。 *外側の小さい数字から決めていくとやりやすい。 *これで完成したけど,他にもありそうな気がする。 *一つを文字にすると,他の2つもその文字であらわせるから,式にできそうかも。
◇このタイプだと困ることを言わせる。 ◇勘でなく,説明できる方法で解くことを伝える。 ◇『本当にこの数字の組み合わせしかないのか確認しよう』 ◇机間指導では文字を使って説明するように助言していく。 ◇近くの友だちと情報交換をさせる。 ☆困っていること。 ☆たぶんこうだと思うけど自信のないわけ。 ☆これでいいのか確認。 ☆他に組み合わせはないか相談。 13



4,答えとその数に決めた方法を発表しあう *外の一番小さい数の組み合わせからさがした。 *一番小さい数字を文字xにして,組み合わせを考えた。 *一番小さい数字は,足し算の式が考えやすいからここから決めていった。 *3つのうち一つがきまれば,残りが決まるから,文字でも表せそう。 *文字を使えば,どんな組み合わせでもできそうだ。 ◇どうやってみつけたか,順番に話をさせていく。 ◇どの数からみつけていったかを言わせる。
6つの数字の関係のきまりを自分なりの言葉で表現することができたか。(友だちとのかかわり,ノート等)
◇『文字を使って三角形の中の数字が一つに決まることを確認していこう』
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5,班ごとに計算三角形の問題を作成する


6,問題として成り立つか班の中で確認する
*負の数も入れてみよう。 *大きな数で作ってみたい。 *作り方は自信がないけど,解くほうならできそうだ。 *答えの確認ならできそうだ。 *どこを空欄にするか迷う。 *○○くんのは工夫がしてあっていい。 *△△さんのは負の数で作ってあって考えてある。 ◇計算三角形の問題を作ろう。(3つは先に文字を指定した問題を作る) ◇班で,相談する中で,数字同士の関係を確認させていく。 ◇ホワイトボードを配布し,班の中で,それぞれが考えた問題を記入し,互いに交換しこの数字にしたわけや工夫したところを意見交換する。 10





7,文字を使うよさと一つに決まることの確認 *他の班は,負の数が使ってある。 *文字であらわしていくと,勘を使うより安心できる。 *答えが一つしかないことが納得できた。 *等式が成り立てば,うまく決まっていく。 ◇班で黒板に提示する問題を一つに決めさせる。
等式を使って文字xをさがす方法がわかったか。(問題への取り組み,ノート等)
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(7)授業の実際と考察

  • ①「三角形の中が3つに分かれています。となりあう2数の和と,〔 〕の中の数が等しくなるように,数字を入れましょう」
    導入時の計算三角形の中の3つが指定されている問題は,どの生徒も興味をもって取り組め,計算三角形のルールを確認することができた。
  • ②わかっている数字の位置がかわっても,一桁の数字を示したため,どの生徒も意欲をもって取り組めた。(挙手多数あり)
      
  • ③皆で解いた計算三角形を見直し,きまりがないか考えさせたが,この段階では空欄の数字が埋まったことで満足し,きまりまで考えは広がらなかった。
  • ④外側の3つしか数字がわかっていない問題へ挑戦。

    すぐにわかる問題と,そうでない問題があり困る姿がでてきた。
    わかった生徒に考えた順番を言ってもらう。
    「外側の小さい数字から考えるといい。わけは,足し算の組み合わせが少ないから。」
    「うまくいかなかったら,別な組み合わせでもう一度足し算をしてみるといい」
    この発言で,3つの中の小さい数字の正の整数の足し算の組み合わせを考え,多くの子が自力で解決できた。
  • ⑤ここでもう一度,黒板の計算三角形7つについて,何かきまりはないか見直しの時間をとった。
    *中の3つの和の2倍は,外の3つの和になる。
    *外の3つと中の3つの増え方は同じだと思う。
    *上のマスの数は,外の両方の数を足して外の下の数を引いて2で割るとなると思う。
  • ⑥きまりの説明を聞きながら,確かめる姿があった。そこで,きまりがわかれば,自分で問題が作れないか提案する。「やってみたい」ということになり,それぞれ作り始める。連続した数字を入れて確認したり,負の数を入れて作る姿が出てきたりした。作ったら,3つだけ残しあとは消せば問題になることを指示する。負の数や分数を入れていくことも助言しながら机間指導をした。
  • ⑦自分の作った計算三角形を私のところに持ってきて,「これでできたけど,この数字でなくてもできるように思うけど…」と一人の生徒が相談に来た。その生徒に,全体へもう一度説明させる。すると,自分の問題を確認したりきまりが成り立っているか見直したりする姿が出始めたので,グループごとに,気がついたことを出し合いながら,問題を互いに作らせた。
  • ⑧グループでの話し合いの様子
    どのグループでも「どんなのができた」「見せて」など,互いに興味をもったやり取りがあった。
    *作った問題をまわして,解きあうグループ。
    *数字を大きくしたために,解けない問題があったグループ。
    S1「この数字にしたけど,自信がない」
    S2「数字はわかっているんだから,確かめようよ」
    S3「ぼくは,文字にして成り立つか確かめてみる」
    S4「他にも組み合わせがないか確かめてみたいけど,わからない。教えて」
    問題を作る人,確認をする人,ほんとうにこの答えしかないか考える人など分担し取り組んだ。S3は等式ができるとS1とS4に説明。大きな数字でも,一つに決まることを納得させた。
    *すぐに交換して終わってしまったグループには,「負の数を入れて数字を決める問題はつくれないか」と助言すると,ホワイトボードに書いては消してを繰り返した。4人が納得すると,それぞれのノートへその問題を書き写した。
  • ⑨意見のまとまったグループから,発表の準備のためにホワイトボードへ書かせていった。
  • ⑩8つのグループの問題を黒板に提示。

どの問題からでもよいことにして,それぞれがノートへ書き写して取り組んだ。数字の並びを見て,解けそうなグループの問題へ取り組む姿もあった。

(8)成果と課題

①実践の成果

  • 話し合う内容がはっきりとしていれば,グループに任せて,情報交換をすることを経験していくことは理解を深めるために必要と思われる。
  • 三角形の中に数字を決めて問題を作ることは,話をするときに,ここ,そこと互いに示しやすく,どの生徒も話に参加をすることができた。
  • 数字を入れる場所を決める,いくつにするか決める,答えを求める,確認するといった役割がいくつかあったので,それぞれ自分のできそうなところで取り組むことができた。

②課題

  • 授業の中で,自分の思いや考えを話したくなる必要感をどのように設定していけばよいのか。「考えたことを近くの人に話してみよう」では,生徒にとっては受身での活動になることが少なくないと考えられる。本時のねらいに迫るために,どのような発問,場を設定したらよいのか。
  • 式の中に文字が一つ入ってくるだけで,抵抗感の高まる生徒は少なくない。考える順は同じでも,式の意味を読み込むことは難しい。文字を使うよさがわかるまでにしたい。
  • グループでの活動を取り入れるならば,時間をある程度確保しなければならない。また,目的に沿った話し合いができるためには,繰り返しグループでの活動を継続する必要がある。

3.おわりに

本時の中で,まず,「まだわかっていない数は,本当にひとつしかないんだ」ということについて,「わかった,そういうことだったのか」と生徒が実感できる内容をはっきりと決めることが必要である。その上で,席の周りの人やグループの中で,自分の考えていることでいいのか(方向),やり方はいいのか(方法),求めた事はあっているのか(確認),別な考え方があるんだ(学びあい)などを情報交換し合うことによって理解を深めていくことができると考える。

教師は,生徒が互いの考えてきたことや,困っていることを共有できるように,コミュニケーション活動を支援することが必要である。これからも,授業の中でわかる喜び,できる喜びを実感し,次への学習へ向かうエネルギーを持続できるような授業づくりを目指していきたいと考える。

【参考文献】

・中学校学習指導要領(平成20年9月)解説―数学編― 文部科学省
・長野県中学校教育課程学習指導手引書 長野県教育委員会
・平成24年度学力向上のためのPDCAサイクルづくり支援事業に関する実施要項 長野県教育委員会
・計算三角形にチャレンジ(新しい算数研究2012年7月号) 東洋館出版社
・未来へひろがる 数学1指導書(朱註編・指導研究編) 啓林館
・コミュニケーションで創る新しい算数学習 古藤怜・新潟算数教育研究会
・問題解決過程と発問分析 片桐重男
・学校数学の改善 Do Mathの指導と学習 古藤 怜
・子どもの心を開く算数の授業 能田伸彦

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