教師の方へ

授業実践記録（数学）

「証明のしくみについて学ぼう」

愛媛県松山市立中学校　教諭

単元：４章　図形の調べ方（２節　証明）

指導計画

１．証明とそのしくみ・・・２時間（本時第１時・第２時）
２．合同条件を使った証明の進め方・・・２時間

本時の指導について

この小単元では，証明の必要性や意味を理解し，証明の形式的な手順について理解することがねらいである。しかし，生徒にとっては，以下の点が理解しにくい要因となっているように感じる。

○ 仮定と結論をとらえること。はじめから分かっていることとそうでないこと，証明しようとしていることの区別をつけること。
○ 証明の流れをとらえること。筋道立てて考えること。
○ 線分や角を読み取ったり，記号で表したりすること。

以上の点に配慮し，できるだけ生徒の思考に沿うようにするために，授業展開を考えた。

本時の流れ

第１時「証明とそのしくみについて学ぼう」

１．証明の流れを知る。

Ｔ：	「しんじくんは愛媛県民である」と書いてあります。でも，これは本当かどうか分かりません。
Ｓ：	どういうこと？
Ｔ：	でも，「しんじくんは松山市民である」これは事実です。では，しんじくんは愛媛県民？
Ｓ：	愛媛県民だ。絶対そうだ。
Ｔ：	このように，本当かどうか分からないことを，事実を使って説明することが「証明」です。

２．練習する。

【問題１】次のことがらが正しければ○を，正しくなければ×を記入せよ。

①　やすしくんは今治市民である。　→ならば→　やすしくんは沖縄県民である。（　×　）
②　しんじくんはショートケーキが作れる。　→ならば→　しんじくんはパティシエである。（　×　）
③　a＝５，b＝２　→ならば→　a＋b＝７である。（　○　）
④　２つの整数a，bで，a＋bは偶数である。　→ならば→　a，bは奇数である。（　×　）
⑤　△ABCで，∠A＝90°である。　→ならば→　∠B＋∠C＝90°である。（　○　）
⑥　２つの三角形が合同である。　→ならば→　２つの三角形の面積は等しい。（　○　）

×の場合，それを成立させるための反例を挙げながら答え合わせをする。

３．仮定，結論の定義を知る。

「●●●ならば，□□□である。」
↑　　　　　　　　　↑
すでに分かっていること【仮定】　　証明しようとしていること【結論】

４．「ことがら」を自分でつくり，班で判定し合う。

＊生徒が考えた例
Ｔ先生はＮ中学校の先生である。→ならば→　Ｔ先生は教師である。
僕は日本に住んでいる　→ならば→　僕は地球に住んでいる。　など
自分で例を作ることで，仮定と結論の関係や命題の真偽を考えやすくなる。

５．逆について知る。

仮定と結論が入れかわっている２つのことがらがあるとき，一方を他方の逆という。

例：「しんじくんは愛媛県民である。　→ならば→　しんじくんは松山市民である。」

Ｔ：これはどうだろう？
Ｓ：正しいとは言えない。
Ｓ：しんじくんは今治市民かもしれない。宇和島市民かもしれない。
Ｔ：正しくない例が１つでもあれば，成り立たないことになります。

６．練習する。

次のことがらは【問題１】の逆である。ことがらが正しければ○を，正しくなければ×を記入せよ。

①　やすしくんは沖縄県民である。　→ならば→　やすしくんは今治市民である。（　×　）
②　しんじくんはパティシエである。　→ならば→　しんじくんはショートケーキが作れる。（　○　）
③　a＋b＝７である。　→ならば→　a＝５，b＝２である。（　×　）
④　２つの整数a，bが奇数である。　→ならば→　a＋bは偶数である。（　○　）
⑤　△ABCで，∠B＋∠C＝90°である。　→ならば→　∠A＝90°である。（　○　）
⑥　２つの三角形の面積は等しい。　→ならば→　２つの三角形は合同である。（　×　）

×の場合，それを成立させるための反例を挙げながら答え合わせをする。

７．先ほど自分がつくった「ことがら」の逆をつくり，班で判定し合う。

８．本時のまとめをする。

○正しいと分かっている事実から，本当かどうか分からないことを説明していくことが　証明の基本の流れである。
○あることが正しくても，逆は正しいとは限らない。
○あることがらが正しくないことを説明するには，例（反例という）を１つ挙げればよい。

第１時を終えて

生徒の実生活に絡んだ例を取り上げることで，仮定から結論への流れがとらえやすくなり，証明の基本構造を理解しやすくなる。また，本来は「逆」については，５章で学習するが，ここで少し触れておくことは，仮定と結論の違いが明確になり，互いに逆の関係にある命題の違いを意識することができる。そのため，命題が真でも逆は真とは限らない点や反例についても理解しやすい。

第２時「証明をする手順を学ぼう」

１．角の二等分線を作図する。

角の大きさは自由に設定させる。これが後に記述した証明の一般性を示すことにつながる。

２．問題を考える

Ｔ：作図したＯＰが∠ＸＯＹの二等分線になるのはなぜだろうか？
Ｓ：・・・？

生徒に発問しても，習った作図だからと反応があまり返ってこない。そこで，

３．この問題を考えるために，図を見て分かることを挙げる。

この線分とこの線分は長さが等しい，または等しいだろうというものや，この角とこの角は大きさが等しい，または等しいだろうというものをすべて出してみよう。

まだ証明の流れが分かっていないので，仮定，結論に関係なく，図で見て等しいだろうなというものを生徒は発表する。

４．グループで話合い，分類する。

では，今からこれらをグループ分けします。これらを「正しい！」と「正しい？」に分類してみよう。

グループごとに，右図のようなシートとカードを配布する。カードの色と図の中に示している角の印は同じ色にしてあるので，記号と角が対応できにくい生徒も色でどの場所かがすぐ分かるようになっている。カードを動かしながら左側「正しい！（すでに正しいと認められている）」と右側「正しい？（説明していくことで正しいと証明できる）」に分類する。

グループになって，カードを移動させながら，「こっちか？」「どっちだ？」と話し合いながらグループに分けていく。

何が仮定か分かっていないので，結論を左に置く班も出てくる。いきづまっている班には，声かけをする。

Ｓ：どれが「正しい！」なのかが分からない。全部じゃないのかな？
Ｔ：図を書くときに自分がやったことは何？
Ｓ：作図です
Ｔ：自分が実際に作図したことは事実でしょ。
Ｓ：ということは・・・

５．発表する。

ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＣ，ＡＣ＝ＢＣはどの班も左に置くことができた。△ＡＯＣ≡△ＢＯＣを左に置いている班が出ているので，全体で取り上げる。

Ｔ：△ＡＯＣ≡△ＢＯＣを左に置いている班があるけどどうかな？
Ｓ：合同なのは分かっていることでしょ。正しいと認めていいはず。
Ｓ：でも，はじめから分かっている事じゃないよ。
Ｓ：ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＣ，ＡＣ＝ＢＣから言えることだ。
Ｓ：三角形の合同条件から言えることだよ。

６．「正しい？」中での順位づけをする。

「正しい？」の中でも順位があることに気付き，結局図のように流れていくことを確認する。図の中で正しいと思われることはたくさんあったが，実はその中で正しいと認められるのは，自分が作図をしたもののみであり，ここ以降は，これから説明されることだと気付く。

７．証明を書いてみる。

証明の流れが分かったところで，実際に証明を書いてみる。その後，仮定と結論に改めて触れ，仮定やすでに正しいと認められた根拠を使って結論が成り立つことを筋道立てて説明することを「証明」ということを説明し理解させる。また，授業のはじめに書いた図は，生徒それぞれ違っているが，証明の記述の内容は同じになることから，自分がかいた図は，証明のための代表の図となることについてもおさえる。