課題学習の指導（数学）

神奈川県中学校数学教諭

１．指導のねらい

　(1)　「平行四辺形になるための条件」の理解の深化を図る。

　(2)　補助線の引き方を学ぶ。〈課題学習〉

　(3)　補助線を引くことで，図形の重要事項を復習し，その定着を図る。〈課題学習〉

２．指導計画

(1)	「平行四辺形になるための条件」を示し，証明する。	……１時間目
(2)	「平行四辺形になるための条件」を使い，与えられた四角形が平行四辺形であることを証明する。 ……２時間目
(3)	与えられた平行四辺形に補助線を引き，新しい平行四辺形を作成する。〈課題学習〉 ……３時間目
(4)	生徒が作成した平行四辺形を示し，「平行四辺形になるための条件」を満たすことを確認する。〈課題学習〉 ……４時間目

３．授業の実際

(1) 指導計画(2)の授業案　〈２時間目〉

　1.　「平行四辺形になるための条件」を示す。（模造紙に図をかく）

　2.　［問題１］を考える。

［問題１］
　平行四辺形ABCDで，図のように，BE＝DFのとき，四角形AECFが平行四辺形になることを証明しなさい。

　〈学習活動〉

○	等しい辺や角，平行な辺に印をつけ，「平行四辺形になるための条件」のうち，どの条件を満たすかを考える。
○	証明をする。

［証明］
　　BE＝DFより，AF＝EC……(1)
　　仮定より，　AF // EC……(2)
　(1)，(2)より，１組の向かい合う辺が平行で等しいから，四角形AECFは平行四辺形である。

　〈指導上の留意点〉
　　・別の証明方法も考えさせ，図を使って説明させる。
　　・別の条件でも証明できることを確認する。

　3.　［問題２］を考える。

［問題２］
　平行四辺形ABCDで，図のように，BE=DF，AG=CHとなるように，点E，F，G，HをBC，DA，AB，CD上にとったとき，四角形PQRSが平行四辺形になることを証明しなさい。

　〈学習活動〉

○	四角形PQRSに注目し，等しい辺，等しい角，平行な辺を見つけ，「平行四辺形になるための条件」を確認する。
○	証明をする。

［証明］
　図１，図２で，四角形AECFと四角形GBHDが平行四辺形であることを証明し，その２つの図を重ねる（図３）。

　〈指導上の留意点〉
　　・別の証明方法も考えさせ，図を使って説明させる。
　　・別の条件でも証明できることを確認する。

(2) 指導計画(3)の授業案（課題学習）　〈３時間目〉

　1.　「平行四辺形になるための条件」を示す。〈(1)使った模造紙を貼る〉
　　・前時の［問題１］［問題２］の復習をする。

　2.　［課題］を行う。

［課題］
　平行四辺形ABCDに補助線を引き，新しい平行四辺形を作成しなさい。

　〈学習活動〉

○	はじめに一つだけ平行四辺形を作成し，その内容が「平行四辺形になるための条件」を満たしているか生徒一人一人に考えさせる。
○	３人の生徒に自分の考えたアイデアを発表させる。

　〈指導上の留意点〉

・	新しい平行四辺形を作成するために，補助線をどのように引いたかを確認する。この段階で延長線を使って作成することを確認する。
・	生徒に平行四辺形をかいたプリントを配布し，平行四辺形を作成するよう指示をだし，はじめの５分間は個人作業とする。
・	机間巡視をし，生徒が考えた補助線を引くためのアイデアを板書する。

〈補助線を引くためのアイデア〉
1.　等しい辺を作る。	6.　角の二等分線
2.　延長線を引く。	7.　平行線
3.　中点	8.　垂線
4.　対角線	9.　二等辺三角形
5.　等しい角

・	アイデアを板書した後，さらに10分程度の時間を取り，平行四辺形を作成する。
・	生徒の作った平行四辺形を集める。

(3) 指導計画(4)の授業案（課題学習）　〈４時間目〉

　生徒の作成した問題を示し，図形の基礎・基本，補助線の引き方を学習すると共に，「平行四辺形になるための条件」を復習する。

　1.　生徒の作成した問題を補助線のアイデア別にまとめてプリントにし，配布する。

　　(A) 等しい辺・中点

　　(B) 対角線

　　(D) 等しい角，角の二等分線

　　(E) 二等辺三角形

　〈指導上の留意点：プリントの返却〉

・	生徒たちが提出した内容を分類し，(A)～(E)のようにまとめた。クラスごとにそれぞれが考えた人数を入れた。また，人数が少ないな場合には氏名を書き入れた。
・	生徒が提出した個人のプリントは，間違っている場合は訂正し，条件や記号が不十分な場合には，追加，訂正を行い，生徒に返却した。

2.	プリントを見て全体を確認した後，プリントの中からいくつか選び，なぜ平行四辺形になるのかを考えさせる。（「平行四辺形になるための条件」のうち，どれを満たしているのかを考える）

　　→個人，または２，３人の小集団で対応させた。

3.	プリントを見て，「平行四辺形になるための条件」のどの条件で平行四辺形になったかを発表する。

4.	まとめる。　・補助線の引き方の内容を復習し，自ら問題を作成する姿勢を養うことができたか。　・「平行四辺形になるための条件」を理解し，使うことができたか。

４．指導の成果と今後の課題

　(1)

　２学年の後半ともなると，生徒間の学力差もでてきているが，補助線を引くことについては，興味を持って取り組んでいたと思う。ただ，同じ内容しか考えることができなかったり，途中で考えつかなくなり，時間を持て余す生徒もいた。今回は，できるだけ一人で考えさせ，相談する場合でも前後か左右の席の二人同士に限り，生徒一人ひとりが自分の力で考えてみようという意欲を持つように配慮した。

　(2)

　図形のまとめのテストとして，次のような問題を作成し，生徒の理解度の把握に努めたが，補助線を引き，合同な三角形を作ることは，比較的よくできていたと思う。

［問題］
　図のように，正方形ABCDと正三角形EBCがある。この図に補助線を引き，２つの合同な三角形をつくりなさい。
　また，２つの三角形が合同になることを証明しなさい。

　(3)

　必修の授業の中で，発展的な学習として今回の授業に取り組んでみたが，作業する部分があり，前向きに取り組む姿勢があらわれた。なかには，家で参考書や問題集を調べ，新しい平行四辺形（複雑）を作成した生徒もいた。今回の内容は４時間扱いではややきつい内容であった。図に表現することはできたが，論証の部分（証明を書き表すこと）は，指導が足りなかったように思える。

　(4)

　生徒が提出したプリントには，間違えている内容や条件が足りない内容，また，点の位置が異なるだけで，内容的には同じものを書いているなど，いろいろなものがあった。訂正や追加をしてプリントを生徒に返却したが，指導不足を感じる。個別指導の時間を取るべきであった。

　(5)

　課題学習については，必修教科の内容で，それぞれの単元に１つ実施している。生徒は比較的興味を持って学習し，その単元の復習としてはよいが，年間指導計画を考えるとややきついようである。