| 数学トピックQ&A |
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| 2次関数の決定 | |
| Q | グラフの条件から2次関数を求める問題は，いろんなタイプがあって，解法もそれぞれ異なっていてややこしいです。 |
| A | ややこしいことはありません。考えられるタイプは例題〔「数学Ｉ」(007) p.71，72，「新編数学Ｉ」(009) p.78，79，80〕に書いてありますが，次の3つの場合になります。 （1） 頂点とそれ以外の1点を通る。 （2） 軸がわかっていて，軸上にない2点を通る （3） 3点を通る このとき，求める2次関数を y ＝ax2＋bx＋c・・・・[1] とするか，または， y ＝a (xーp)2＋q・・・・[2] とするかの違いです。 （1） の場合，頂点の座標がわかっているのだから，[1]，[2] のどちらにしたいですか。 |
| Q | それは当然 [2] の方でしょう。 |
| A | それでは，（2）の場合，[1] の式を使って，教科書の例題〔「数学Ｉ」(007) p.71〕を解いてみましょう。 例題 軸が直線 x ＝2で，2点（1，3）（5，−5）を通る2次関数． |
| Q | 求める2次関数を y ＝ax2＋bx＋c・・・・[1]とおくと， 軸は直線 x ＝  だから，＝2より b＝−4aつぎに，グラフが（1，3）（5，−5）を通るから 3＝a＋b＋c −5＝25a＋5b＋c これらに b ＝−4a を代入すると， −3a＋c ＝3 5a＋c ＝−5 これを解いて，a ＝−1，b ＝4，c ＝0 つまり，y ＝−x2＋4x |
| A | 正解です。ただ，[2] の式を使った教科書の解と比べてみると，教科書の解の方が簡単ですね。このわけは，軸がわかっているから [2] では y ＝a (xー2)2＋q とおけるので，求める文字が a，q の2つ，上の解では，a，b，c の3つです．求める文字の数が少ないときの方が簡単といえるでしょう。 次に（3）の場合はどうですか。 |
| Q | これは [2] の式で例題5〔「数学Ｉ」(007) p.72〕を解くと， A(−1，8) を通るから， 8＝a (−1ーp)2＋q ・・・・ これは大変です。[1] の式で解く方が簡単です。 |
| A | では，（3）の場合，特に，2点が x 軸上にある場合を考えてみましょう。 問題 グラフが x 軸上の2点（1，0），（3，0）（−1，16）を通る2次関数を求めよ この場合は，（1，0），（3，0）に着目して，求める関数を |
y＝a (xー1)(xー3)・・・・[1]