| 数学トピックQ&A |
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| 主な倍数の見分け方 | |
| Q | 教科書数学 I（啓林館）の17ページには，52＝25， 152＝225，252＝625……のように，下1桁が5の自然数を2乗すると，下2桁が25の倍数になることの理由を書いてありますが，これに関連して，小学校の算数で，9の倍数を見つける方法を習いました． たとえば，4851では，4＋8＋5＋1＝18は9の倍数だから，4851は9の倍数になる．（実際，4851÷9＝539です） このように，「各位の数の和が9の倍数になっていると，もとの数は9の倍数である」小学生の頃は，おもしろいけど不思議だなと思っていましたが，これも数学的に正しいことですか． |
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| A | この9の倍数の性質は，九去法という名で，古くから知られていました．このことは次のようにして証明できます． 4桁の自然数N で1000の位の数をa，100の位の数をb，10の位の数をc，1の位の数をd とすると，もとの自然数はN ＝1000a ＋100b ＋10c ＋d となります． ところで，1000＝9×111＋1，100＝9×11＋1，10＝9×1＋1だから， N ＝(9×111＋1)a ＋(9×11＋1)b ＋(9×1＋1)c ＋d ＝9×111×a ＋9×11×b ＋9×1×c ＋(a ＋b ＋c ＋d) ＝9×(111×a ＋11×b ＋1×c) ＋(a ＋b ＋c ＋d) 9×(111×a ＋11×b ＋1×c) は9の倍数になっているから，a ＋b ＋c ＋d が9の倍数であると，N が9の倍数になることがわかります．
主な倍数の見分け方をまとめて挙げておきましょう．
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