幾何学で作図問題といえば，
定規とコンパスを使って，点や直線などの図を作る
のであるが，ここでは，
コンパスだけを使って作図する
ことを考えてみよう．
コンパスしか使えないから，直線は引けない．描けるのは円だけである．したがって，作図できるものといえば，
円か円弧か点
ぐらいのものである．
ここではとくに点に着目しよう．
コンパスの幅（半径）を固定すると，まず次のような点を作図することができる．
さて，手始めに次の問題を考えてみよう．
問 コンパスだけを使って，次の2点の中点を作図せよ．
A B
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「コンパスだけで中点が作図できるの？」とびっくりするかも知れないが，できるのである．
この解は次のようになる．
まず，ABを2倍に延ばした位置にある点Cを作図する．
Aを中心としBを通る円と，Cを中心としAを通る円を描き，交点をP，Qとする．
最後に，Pを中心としAを通る円と，Qを中心としAを通る円を描き，Aでない方の交点をMとする．
この点Mが求める中点である．
ここで，MがABの中点であることの証明が必要である．
証明 ABの長さを a とし，Aを原点，Bの座標を (a，0) とする座標系で考える．
Aを中心としBを通る円の方程式は，
x2＋ y2＝ a2 …… [1]
C (2a，0) を中心としAを通る円の方程式は，
(x−2a)2＋y2＝ (2a)2 …… [2]
[1]− [2] より 4ax＝a2
x＝ 
よって，点P，Qは直線 x= 上にある．
点Mはこの直線について点Aと対象だから，Mの座標は(  ，0)である．
よって，MはABの中点である．
この作図法のキーワードは次の2つである（a = 1 に見立てる）．
中心が(2，0)で原点を通る円， 単位円
はじめにこの2つの円を描くことにより問題は解決する．
上の作図法を覚えたいという人は参考にしてもらいたい．
コンパスだけの作図法の世界（平面）では直線や線分は実現できない．実現できないものに直線，線分と名をつけるのは誤解を招くおそれがある．そこで，直線，線分は想像上のものとしてそれぞれ仮想直線，仮想線分と呼ぶことにする．
上で考えたことから，任意の仮想線分の中点は作図可能であることが分かった．
そうすると，与えられた点Pから仮想直線ABへの垂線の足Qも作図可能であることがわかる．
これを作図してみよう．
中心がAでPを通る円と
中心がBでPを通る円
を描くことにより，仮想直線ABに関するPの対称点P' を作図する．
そうすると，仮想線分 PP' の中点Qが求める点である．
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