この体積を求めてみよう．
　計算に先立ってまず正二十面体の観察が必要である．付録として正二十面体の展開図をつけたので，読者はその模型を観察してもらいたい．

　下図においてOは正二十面体の中心，A，B，C は頂点，X，Y，Z は辺の中点とする，X，Y，Z をのせる3辺は直交している．これら3点と正二十面体の中心 O をむすぶ線分は互いに直交する．つまり，直線 OX，OY，OZ は空間座標系の座標軸の位置にある．

点 A，B，C を図のように定め，点Aから線分 OX に下ろした垂線を AH とする．
　この正二十面体の1辺の長さを1とし，OX＝x とする．

　x＞0だから，

三角錐 O−ABC の体積 V_１を求めよう．

　よって，1辺の長さ1の正二十面体の体積 V は，

　一般に，辺の長さ a の正二十面体の体積 V は，

〈付録〉　正二十面体の展開図