数学切り抜き帳
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　四平方の定理？！
桜花学園大学教授
岩井　齊良
　「四平方の定理」という呼び名は筆者が勝手につけたものである．次に「直角三角錐」という耳慣れない単語が出てくるが，これも筆者が作ったものである．
　四平方の定理は三平方の定理にちなんだことばで，直角三角錐は直角三角形にちなんだことばである．

●直角三角錐●
　三角錐OABCにおいて，１つの頂点Oに集まる３つの角　∠AOB，∠BOC，∠COA　がいずれも直角のとき，これを
　　　　点Oを直角の頂点とする直角三角錐
と呼ぼう．
　これは直方体の片隅を切り落としてできる立体である．手近にある直方体（箱，机，本など）を見てその片隅を切り落とした場面を想像して下さい．あるいは，四角い箱の中をのぞきこんでこの立体が存在することを確かめよ．
　いま君がいる部屋の中にも直角三角錐は存在する（下図）．

●四平方の定理●
　四平方の定理は直角三角錐の4つの面の面積に関わる公式としてまとめられる．
　点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとすると，
　　　　OA⊥OH，　OH⊥BC
　したがって，

　　　　　△ABC＝ AH・BC，　△OBC＝ OH・BC

定理（四平方の定理）
　点Oを直角の頂点とする直角三角錐OABCにおいて，次の等式が成り立つ．
　　　（△ABC)2＝(△OAB)2＋(△OBC)2＋(△OCA)2

証明　（△ABC)2
 ＝ AH2・BC2　
＝ (OA2＋OH2)BC2　
＝ OA2・BC2＋ OH2・BC2　
＝ OA2(OB2＋OC2)＋ OH2・BC2
＝ OA2・OB2＋ OA2・OC2＋ OH2・BC2
＝(△OAB)2＋(△OCA)2＋(△OBC)2


　見ての通り，この証明はきわめて初等的である．
　この定理と三平方の定理との類似点に注目しよう．

　　　三平方の定理……直角三角形……辺の長さ
　　　四平方の定理……直角三角錐……面の面積

　三平方の定理は，

　　　直角三角形において，斜辺の平方は直角をはさむ2辺の平方の和に等しい

と表現される．
　四平方の定理を同様に表現すると，

　　　直角三角錐において，斜面の面積の平方は，他の3つの直角三角形の面積の
　　　平方の和に等しい

となるであろう．

　初等的証明の方を先に示してしまったが，それはさておき，計算力のある若者には次の問題を解いてもらいたい．

問　3点A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)　を頂点とする三角形の面積を求めよ．

（ヒント）　cos∠BAC，sin∠BAC　を決定せよ．

　この答は，

　　　

となる．これを変形すると，

　　　

となって上の定理の結果と一致する．
　この計算を知りたい人はここをクリックして下さい．