数学切り抜き帳
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　不定方程式　ax−by＝1
桜花学園大学教授
岩井　齊良
　方程式
　　62x−15y＝1
にあてはまる整数 x，yを見つけよう．
　x＝x0，y＝y0 が解ならば，x＝x0＋15n，y＝y0＋62nも解
となるから，解は無数にある．
　はじめはただ1組の解を見つけることに専念しよう．　

　この問題のポイントは，62を15で割って得られる関係
　　　　　　　　62＝15×4＋2
を使って方程式を簡単な方程式に結びつけることである．つまり，
　　　　　　62x−15y＝1
　　(15×4＋2) x−15y＝1
　　　 2x−15(y−4x)＝1
　ここで，Y＝y−4xとおくと，2x−15Y＝1
　これは簡単である．x＝8，Y＝1 という解が目に浮かぶ．
　x＝8 が決まれば，原式 62x−15y＝1 よりyの値が決まる．
　これまでに分かったことを図示すると，次のようになる．

　　　

　等号＝で結んだ2つの□に入る数は等しい．
　この図は，

　　　「矢 とイコール が双子の兄弟」

と覚えるか，または，

　　　「 係数が変わっても， 変数は変わらない」

と覚えよう．

類題1　次の□にあてはまる整数を求めよ．
　(1)　28×□−13×□＝1
　(2)　35×□−8×□＝1　　　答

　次に，
　　　59×□−17×□＝1
にあてはまる整数を求めてみよう．
　前問で使ったテクニックを2回使うと解決できる．

　　　

　ここでも，「矢とイコールは双子の兄弟」である．
　解は下の方から決まる．最後の□にあてはまる数が 1 と 7 で，残りの□は下から上へ自然に決まっていく．

　　　

　ここでは電卓を使って下さい．
　15は17×7＋1＝120，120÷8＝15から得られた数であり．
　52は59×15−1＝884，884÷17＝52から得られた数である．

類題2　次の□にあてはまる整数を求めよ．
　(1)　38×□−11×□＝1
　(2)　56×□−19×□＝1
　(3)　306×□−25×□＝1　　　答

　一般に，変数の範囲を整数に限定した方程式をディオファントス方程式または不定方程式という．
　不定方程式といえば，文字通りの「解が不定であるような方程式」という意味ではなく，「解が整数であるような方程式」を意味するのが通例である．