1＋＋＋＋……　とどんどん加えていくと，和はどうなるであろうか？　

　加えていく数値がどんどん小さくなるから，この和はπとかとか，あるきまった値に近づく？！と思われるかも知れない．
　ところが，驚くべきことに，
　　　この和は無限に大きくなる
のである．
　このことを，次の「家系図」で説明する（説明の都合上1は無視して考える）．

分数の家系図

　この家系では1人の親から2人の子どもが生まれる．下の子は親のちょうど半分で，上の子は下の子よりもすこし大きい．
　だから，子ども2人をあわせると親よりも大きい．
　

親子の関係，子子の関係

　このことから，

第1世代よりも第2世代の和の方が大きく
第2世代の和よりも第3世代の和の方が大きく
第3世代の和よりも第4世代の和の方が大きく
……

　となる．つまり，
　　　　＝（第1世代）＜（第2世代の和）＜（第3世代の和）＜……
　したがって，
　　　第 n 世代までの総和は よりも大きい
　こうして，
はじめの和 1＋＋＋＋…… は無限に大きい
ことが分かる．
　この級数を 調和級数 という．
　その和が無限大であることは，上のように，理論的に証明できるのである．

　ところで，上の計算をコンピュータに任せるとどうなるであろうか．例えば，8桁の電卓で，1÷999999999 を計算すると答は 0 である．
　だから，調和級数のしっぽは 0 と見なされ，和は一定の値にとどまってしまう．

　現代社会では，コンピュータは必要不可欠のものである．しかも，年々便利になって来ている．これだけ便利になると，「難しい数学なんか要らない．やさしい数学とコンピュータさあればよい」という人もあるようである．
　ところが，上の例のように，コンピュータがまちがった答を出すこともある．コンピュータに頼りきると，とんでもないことになることがある．理論的な分野では，コンピュータは人にはかなわない．
　コンピュータを使いこなすためにも，人はもっと賢くならなければならない．現代に生きればこそ，理論や学問を学ばなければならない．