例．A= について Aⁿ をそれぞれの方法で求めよ。

[1] 固有値と対角化
（1）A−kE が逆行列を持たないとき，k の値を2つ求めよ。
（2）（1）で求めた k の値に対し k₁＜k₂ とする。P＝ として
P ⁻¹AP ＝ となるa，b の値を求めよ。ただし a ≠ b とする。
（3）Aⁿ を求めよ。
　固有ベクトルを求め，対角化する部分で生徒は理解しづらいようである。

[2] 整式の除法の利用
（1）A²−pA＋qE＝O となる p，q の値を求めよ。
（2）xⁿ を x²−px＋q で割ったときの余りを求めよ。
（3）Aⁿ を求めよ。
　整式に関しての理解は問題なかったが，それを行列に用いてよいかどうかの点で生徒は理解しづらいようである。 [1] と比較したとき，特性方程式とケーリー・ハミルトンの定理で得られる等式に注目させる。

[3] 漸化式の利用（3項間漸化式，連立漸化式を指導した後で）
（1）Aⁿ ＝a_nA＋b_nE で表すことができるとする。
a_n+1，b_n+1 を a_n，b_n を用いて表せ。
（2）a₁＝1，b₁＝0とする。（1）で求めた数列{a_n }，{b_n }の一般項を求めよ。
（3）Aⁿ を求めよ。

　（2）で b_n を消去した3項間漸化式とケーリー・ハミルトンの定理で得られた式に注目させる。3項間漸化式の処理を確実に指導する点と，ケーリー・ハミルトンの定理から，次数下げを繰り返し，Aⁿ ＝a_nA＋b_nE の形で表すことができる点を理解するのに生徒は苦労したようである。

　1つの行列に対し，3種類の解法で解答させた。反復が必要であったが3つ比較することで生徒の理解は深まったようである。

　次に，重解をもつような場合について解説を加えた。

例．A＝ について以下の問いに答えよ。

（1）(A−αE )²＝Oとなるαの値を求めよ。
（2）A−αE ＝B とおく。二項定理を利用しAⁿ を n を用いて表せ。

　二項定理を用い，B²＝O を利用して解答する。二項定理の内容を復習できた点は良かった。ケーリー・ハミルトンの定理から得られる等式が解法の判別式の役割を果たしている点を理解することが目標である。

　　A³＝(a＋d)A²＝(a＋d)²A

これを繰り返してAⁿ ＝(a＋d)^n-1A

2）ケーリー・ハミルトンの定理から A²−(a＋d)A＋(ad−bc)E ＝O
ここで x²−(a＋d)x＋(ad−bc)＝0　…＊　を考える
[1] ＊が異なる2つの実数解 α，β をもつとき
ア．固有値と対角化

△(A−kE )＝0 となるのは k＝α，β のとき
P ^-1AP＝ となる行列 P が存在し
A＝P P ^-1
Aⁿ ＝P P ^-1

イ．整式の除法の利用
xⁿ をx²−(a＋d)x＋ad−bc で割った商を Q (x)，余りを ex＋f とおく

ウ．漸化式の利用
Aⁿ ＝a_nA＋b_nE となる a_n，b_n を求める。ケーリー・ハミルトンの定理より
A²＝(a＋d)A−(ad−bc)E　だから

よって

これを番号を上げて整理して　a_n+2−(a＋d)a_n+1＋(ad−bc)a_n＝0
＊と [1] よりa_n+2−(α＋β)a_n+1＋αβa_n＝0
この3項間漸化式を解いて　a_n＝　　b_n＝
Aⁿ＝ A＋ E

[2] ＊が重解 α をもつとき
ケーリー・ハミルトンの定理より
A²−(a＋d)A＋(ad−bc)E＝O
(A−αE )²＝O
A−αE ＝B　とおく。B²＝O　A＝B＋αE　である。

n ≧2 で B ⁿ＝O だから

An	＝nB (αE)n-1＋(αE)n