●図形の性質と証明No.４
【1】平行四辺形の性質
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平行四辺形のいろいろな性質を見つけ，証明していきます。 |
〔定義〕
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四角形の向かい合う辺を( )，向かい合う角を( )という。
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２組の対辺がそれぞれ( )な四角形を，平行四辺形という。
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| 〔平行四辺形の性質１〕平行四辺形ならば( )はそれぞれ等しい。 |
〔証明〕対角線ACをひく。←補助線
△ABCと△CDAにおいて
平行線の錯角は等しいから
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∠BAC＝∠( ) |
・・・[1] |
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∠( )＝∠DAC |
・・・[2] |
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また( ) |
・・・[3] |
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[1]，[2]，[3]より( )から
△ABC≡△CDA
したがって AB＝CD，AD＝CB
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| 〔平行四辺形の性質２〕平行四辺形ならば( )はそれぞれ等しい。 |
〔証明〕
[3]の △ABC≡△CDAより
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∠B＝∠( ) |
・・・[4] |
| また |
∠BAD＝∠( )＋∠( ) |
・・・[5] |
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∠BCD＝∠( )＋∠( ） |
・・・[6] |
| [1]，[2]，[5]，[6]より ∠BAD＝∠BCD |
〔別の証明〕
辺ADの延長上に点Eを
辺BCの延長上に点Fをとる。
平行線の同位角・錯角は等しいから |
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∠A＝∠( )＝∠( ) |
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∠B＝∠( )＝∠( ) |
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| 〔平行四辺形の性質３〕平行四辺形ならば( ) |
〔証明〕 ABCDで，対角線ACとBDの交点をOとする。
△ABOと△( )において
平行四辺形の対辺は等しいから
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( )＝( ) |
・・・[1] |
| 平行線の錯角は等しいから |
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∠( )＝∠( ) |
・・・[2] |
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∠( )＝∠( ) |
・・・[3] |
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[1]，[2]，[3]より( )から△ABO≡△( )
したがってOA＝( )，OB＝( )
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〔平行四辺形の性質を利用した証明問題〕
ABCDの対角線BD上に，BE＝DFとなるように２点E，Fをとる。 |
(図)
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| （１） |
問題にあう図を書きなさい。  |
| （２） |
AEとCFの間にはどのような関係があるか予想を立て，証明しなさい。 |
| （３） |
点E，Fの取り方を変えて，オリジナル問題を考えよう。 |
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