2020年度用 中学校数学教科書内容解説資料　未来へひろがる数学

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37３章 二次方程式20151051節　二次方程式　67　3x2=18のようなax2=bの形の方程式は，x2=kの形に変形して解くことができます。ax2=bの解き方x＝± kx2＝k　二次方程式を，平方根の意味にもとづいて解くことを考えましょう。どうすればいいかなある数xを2乗し，それを3倍すると18になりました。ある数xは，どうすれば求められるでしょうか。例1ax2＝b⑴　x3182=　 x62=　 x6!=⑵　2x2=50　 x2=25　 x=!5例2ax2－b＝0⑴　x32402-=　 x3242=　 x82=　 x8!=　 x22!=⑵　x4302-=　 x432=　 x432=　 x43!=　 x23!=　x6!=は，6と6-が，ともに方程式3x2=18の解であることを表しています。次の方程式を解きなさい。⑴　2x2=18 ⑵　5x2=35 ⑶　7x2=70問2次の方程式を解きなさい。⑴　2x2-36=0 ⑵　5x2-60=0 ⑶　9x2-2=0問318p.209201510568　3章　二次方程式　(x+1)2=36のような(x+m)2=nの形の方程式は，x+mを1つのものとみて，これをXとおくと，　　　X2=nとなり，ax2=bの解き方と同じ方法で解くことができます。次の方程式を解きなさい。⑴　x152-=]g ⑵　x5272+=]g⑶　x61202+-=]g ⑷　x5802--=]g問5(x+m)2=nの解き方例4（x＋m）2＝nx372-=]g x37!-= x37!=次の方程式を解きなさい。⑴　x292-=]g ⑵　x32502+-=]g問4例3（x＋m）2＝k2x1362+=]gx+1をXとおくと， X362=これから， X6!=Xをもとにもどすと， 　x16!+=x+1=6からx=5，　x+1=-6からx=-7よって，　　x=5，-7x=5，-7は，x=5，x=-7をまとめて表したものです。x37!=は，x37=+，x37=-をまとめて表したものです。 X2＝36（x＋1）2＝36（x－3）2＝7 x－3 は7の平方根いろいろな見方1つのものとみる19p.209201510570　3章　二次方程式　一般の形の二次方程式　ax2+bx+c=0は，両辺をaでわると，x2の係数は1となり，前ページの手順で解くことができます。　このことを，3x2+5x+1=0について調べましょう。　 xx35102++=両辺をx2の係数でわると，　 xx353102++=数の項を移項して，　　　　　xx35312+=-xの係数の半分の2乗を両辺にたすと，　　xx35653165222++=-+ddnn左辺を平方の形にして，　　　　　x653136252+=-+dn　　　　　x653625122+=-dnよって， x65613!+=　 x65613!=-　 6513!=-　　　axbxc02++=　　xabxac02++=　　　　　xabxac2+=- xabxabacab22222++=-+ddnn　　　　xabacab24222+=-+dn　　　　xababac244222+=-dn　　　　　xababac2242!+=- xababac2242!=-- abbac242!=--2二次方程式の解の公式解の公式を知り，それを使って二次方程式を解きましょう。二次方程式の解の公式　二次方程式ax2+bx+c=0の解は，　　　xabbac242!=--　上で調べたことから，一般に，次のことがいえます。2章 平方根201510542　2章　平方根1平方根2乗するとaになる数について学びましょう。どんなことがわかるかな2乗すると16になる数をいいましょう。また，2乗すると94になる数をいいましょう。636－6平方根2乗　2乗して16になるのは，正の数では4，負の数では-4です。　16の平方根は，正の数では4，負の数では-4です。　2乗するとaになる数を，aの　平へい方ほう根こん　といいます。　つまり，　aの平方根は，x2=aを成り立たせるxの値のことです。　正の数aの平方根は，正の数と負の数の2つあって，それらの絶対値は等しくなります。例1いろいろな数の平方根36の平方根は，6と-694の平方根は，32と32-0.25の平方根は，0.5と-0.5次の数の平方根をいいなさい。⑴　25 ⑵　1 ⑶　81 ⑷　49⑸　169 ⑹　41 ⑺　0.36 ⑻　0.09問1○2＝16 42＝16（－4）2＝16になるね　x2=0となる数xは0だけだから，0の平方根は0です。　また，2乗して負になる数はないので，負の数の平方根は考えません。（正の数）2＝正の数（負の数）2＝正の数学年別の内容紹介3年1122平方根とのつながりを重視し，系統的に自然に学べる二次方程式の解法の配列前後の内容のつながりや，利用場面との関係性も考慮して内容を配列（3章二次方程式）因数分解を使った解き方の指導位置についての配慮解の公式まで学習し，二次方程式の解が2つある場合に慣れてから，しくみの理解の難しい因数分解を用いた解法を学ぶ因数分解を用いた解法を学んだ直後にその方法を多く用いる利用の節を配置3年本冊p673年本冊p683年本冊p70前章とのつながりを重視した解法からスタートする構成3年本冊p42●x2＝aとなるxについて知る151053二次方程式と因数分解因数分解を使って二次方程式を解きましょう。どうすればいいかな方程式（x＋3）（x－5）＝0では，どうすればこの式から解を見つけることができるでしょうか。　2つの数や式について，次のことがいえます。　このことを使って，上ののような二次方程式を解くことができます。例1（x＋a）（x＋b）＝0　(x+3)(x-5)=0では，x+3とx-5をかけて0になるのだから，　x+3=0　または　x-5=0　　x+3=0　のとき　x=-3，　　x-5=0　のとき　x=5よって，　　x=-3，5（x＋3）（x－5）＝0x＋3＝0x－5＝0または解が2つ見つかったね解が見つかったね　AB0#=　ならば，　　A=0　または　B=020151053二次方程式と因数分解因数分解を使って二次方程式を解きましょう。どうすればいいかな方程式（x＋3）（x－5）＝0では，どうすればこの式から解を見つけることができるでしょうか。　2つの数や式について，次のことがいえます。　このことを使って，上ののような二次方程式を解くことができます。　二次方程式ax2+bx+c=0は，その左辺ax2+bx+cを因数分解することができれば，例1と同じようにして，解を見つけることができます。例2x2＋（a＋b）x＋ab＝0　 x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0例1（x＋a）（x＋b）＝0　(x+3)(x-5)=0では，x+3とx-5をかけて0になるのだから，　x+3=0　または　x-5=0　　x+3=0　のとき　x=-3，　　x-5=0　のとき　x=5よって，　　x=-3，5次の方程式を解きなさい。⑴　(x-2)(x+5)=0 ⑵　(x+4)(x+2)=0問1（x＋3）（x－5）＝0x＋3＝0x－5＝0または解が2つ見つかったね解が見つかったね　AB0#=　ならば，　　A=0　または　B=03年本冊p.73二次方程式の解法指導の中で，ax2＝bの解き方から解の公式までの流れは内容理解の上で分断することが難しいので，必然的に因数分解を使った解き方はこの流れの前か，後に指導することになります。解の公式を使った解き方を先に扱うことには，上記のように平方根の学習から解の公式までをスムーズに学習できることや，その中で二次方程式には解が2つあることを理解しやすいなどの利点があります。また，「A×B＝0ならば，A＝0またはB＝0」という内容は，生徒にとって理解の難しいことがらです。解が2つある場合などについて十分理解した後に学習することで，この内容を含む因数分解を使った解法も，より自然に理解させることが可能です。さらに，因数分解を使った解法の指導の直後に，その活用場面を多く含む二次方程式の利用の節へつながる流れは，とても自然なつながりになっています。3章二次方程式では，解が複数ある方程式を学びます。ここで特に配慮が必要なのは次の2点です。（１）解が2つあるという事実を十分に理解すること（２）二次方程式の解の公式をスムーズに導入すること（１）の理解をスムーズにするには，2章平方根で正の数aの平方根が√aと－√aの2つあることを学んだことと関連させることが有効です。その流れで， ax2＝bの解法→平方完成による解法→解の公式による解法という順で指導することで，（２）であげた解の公式の導入までを自然な流れで導入することができます。