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教師の方へ

私の実践・私の工夫(算数)

「変わり方」
~伴って変わる2量の関係に着目する考え方の育成~

4年

千葉大学教育学部附属小学校 岩崎 元

1.はじめに

児童が算数の新たな問題に出あったとき,問われている内容やその解法と既得の知識や考え方とを結び付けることができず,あたかも「初めて直面した問題」のようにとらえてしまうことがある。そのような児童は,解決の見通しをもつことができなかったり,効率のよい解決の仕方に気付かなかったりする場合が多い。

例えば,0.3×6の計算のしかたを考えるときに「0.3は,0.1の3個分なので,0.3×6を0.1が(3×6)個と考えればよい」と,整数の計算と結び付ける考え方ができなければ,解決の見通しをもつことができないだろうし,答えを求めても根拠を明らかにした説明ができないであろう。別の例では,伴って変わる2量の一方がわかっているときに他方を求める問題があるとする。このとき,表を横に見るだけでは,効率よく他方の数を求めることができない場合がある。表を縦に見てきまりを見いだす考え方が身に付いていれば,例えば比例式のような一般化したかたちを使って,式に代入するだけの効率のよい解き方ができる。

こうした課題に対して,これまで用いたことのある考え方をスパイラルに活用させる授業展開を仕組むことができれば,「経験したことのある考え方」を「生きてはたらく考え方」として児童に身に付けさせていくことができると考える。

このように,領域・単元又は学年をまたぎ,同系統の学習内容を貫く,新たな問題を解決するために必要な考え方を,本校算数部では「軸となる考え方」としてその活用を研究している。

そして,これらを,系統づけてスパイラルに扱えるように教材を分析するとともに,次のような段階を経て,児童がその考え方を自分のものとしていくように授業構成を工夫している。

  • ①振り返りを通して軸となる考え方をもとに解決していることを意識化・顕在化させる
  • ②軸となる考え方のよさを実感させる
  • ③問いを創造的・発展的に高めていく際に軸となる考え方を生かし,その楽しさを味わわせる

2.本単元の内容に関わる軸となる考え方

本単元は,伴って変わる2量の関係に着目し,その変わり方を表に整理して規則性を調べるとともに,数量の対応の様子を□や△を用いた式に表して一般化することをねらいとする。

児童はこれまでに,ものとものとを対応付けたり乗数と積の変化の関係に着目したりするなど,関数の考えの素地的な経験をしている。また,折れ線グラフの学習では,断片的に調べたデータを表やグラフに表している。しかし,身の回りの事象を数理的にとらえ,数量の変化の様子を知るために表やグラフに表したり,それをもとに考察したりすることは経験していない。

ここでは,具体的な事象を材料とし,伴って変わる2量そのもの及びその変化の仕方に着目しながら,関係を表に整理していく。そして,「規則性に気付く目」を養うとともに,規則性の活用について理解を深めていく。こうした学習を通して,「表から見いだした2量の変化の規則性に着目して問題をよりよく処理する」という軸となる考え方を身に付けさせたい。

3.授業における手だて

○ 伴って変わる2量を見いだす活動を重視する
具体的な場面を示し,「一方の値が変わると他方の値も変わる」という2量の存在にまずは気付かせる。また,その際,事柄を表に整理することで2量の変わり方が見いだしやすくなることから,単元をとおして,表に整理することのよさにも気付かせたい。

○ 多様な見方を大切にする
伴って変わる2量について表にまとめた児童は,表を横に見て数値の変化を調べていく。しかしそれだけでなく,表中の数値の関係を縦に見たり,斜めに見たりするなど様々な視点をもつ。こうした視点のもち方を認めていくことで,一定して成り立つ関係やより一般化された規則性に気付くこともできる。ここでは,「変わり方」だけでなく,「対応」にも目を向けた気付きも大切にし,規則性を見いだす楽しさにふれさせ,関数的な見方や考え方の基礎を養う。

○ 規則性を活用し,発展的に条件を変えて考えさせる
数が大きな場合や条件が異なる場合でも,表や式などを活用し規則性をとらえて問題を解決することができるというよさにふれさせていく。そして,規則性を活用して条件を変えて考える活動を通して,一般性や能率性などの数理的な処理のよさにも気付かせたい。

4.授業の実際と考察

1時間目 和が一定の変わり方

図を示して「長さ1mの柵を24枚使って長方形の花壇を作る」という問題場面を示す。縦横に用いる数の組を児童に思いつくままに答えさせ,左のようなカードに記していく。それらを意図的に黒板上に散らして配置した上で,「縦を変えると横はどうなるか。」と発問した。児童からは,「順番に並べないとわかりにくい」「あいだの数が抜けている」「縦横の表示は端だけでよい」などの意見が出た。これらの意見を吸い上げながら,カードを実際に並べ直していき,「表の型」を作り上げた。その後,自力解決に入る。そのときの児童のノート例が右の資料である。この例のように,児童は多様な見方による気付きをノートに記したり発表したりすることができた。

本時の児童の振り返りの例は以下のとおりである。数の小さい順に整理して表を作る大切さや,表の多様な見方に気付いている。

2時間目 差が一定の変わり方

省略

3時間目 商が一定の変わり方

本時は,「わくわく算数4年下」79ページの問題を素材として用いた。児童は,前時の学習を生かし,表を横に見たり縦に見たり,また,加減乗除を様々に用いて事象をとらえようとしていた。

授業後半に,「段の数が10のとき,まわりの長さは何cmか」という問いに対し,多くの児童は式にあてはめて考えることができた。

見いだした規則性を式化したり,それらを活用して発展的に条件を変えた問題を解いたりすることで,実際には作ったり図に表したりできない事象も,規則性を活用して考えれば問題を解くことができるというよさをとらえさせたいと考えて取り組んだ。

4時間目 いろいろな変わり方

図のように,積み重ねる段数と正三角形の数の変化を表に整理し,規則性を見いださせる活動を行った。本時では,段の数と上向きの三角形(黒い三角形)の数との依存関係に着目させ,特に黒い三角形の数が段の数の累積した和になっていることを理解させようと考えた。さらに,段の数が大きくなった場合でも,規則性を活用して三角形の個数を求めさせた。見いだした規則性を活用すれば,数の大きな場合でも他方の数を求めることができることから,情報を整理し規則性を見付ける考え方のよさにふれさせたいと考えた。

児童の自力解決の状況は以下のとおりであった。(複数解答)

【①三角形の増え方に着目】

表を横に見るとらえ方 20人
ア:黒い三角形が2,3,4…とふえていく 6人
イ:黒い三角形の増え方が2,3,4…と1ずつ大きくなる 14人

【②前の段の三角形の数と次の段の数に着目】

表を斜めに見て関係を見いだすとらえ方 15人
ウ:黒い三角形の数は段の数だけ増えていく 14人
エ:前の段の三角形の数+次の段の数=三角形の数 1人

【③段の数の合計と三角形の数が一致していることに着目】

表の上の段と下の段を関連づけるとらえ方 6人
オ:段の数の合計が黒い三角形の数になっている 6人

【④題意に沿った適切な関係を見いだせていない】 4人

最後に,「段の数を10段にすると黒い三角形の数はいくつか」と問う。児童は前述の解き方のうち,①②については「表の続きを予想して数をたしていく方法は大変だ」,「前の段の数が分からないとできない」などと考えた。そして,「段の数の和が黒い三角形の個数になる③のきまりを使えば,いつでも同じ計算でできる」とし,「1+2+3+4+・・・+10=55」で求めた。

5.考察

4時間目の問題は変化の仕方がやや複雑な場合であったが,自力解決では9割の児童が前時までの表の見方を活用し,上記のような様々な変化の規則性を見いだすことができた。児童個々が変化や対応などの関数的な要素に着目して数理的に事象を多様にとらえることができつつあるように思われた。単元をとおして,伴って変わる2量の存在を見付けることや,表から多様な見方をさせそれらを認めていく手だてを講じてきたことに,一定の成果が見られたといえる。

また,段の数を大きくした適用題に取り組ませることにより,変化の規則性を活用して,より能率的に問題を解こうとする姿が見られた。発展的に条件を変えた場合を考えさせる手だてによって,自分たちが気付いた規則性の中でも,より一般性や能率性の高い考えを選択していこうとすることができてきたと考える。

6.追記「算数を楽しむ」次時の実践

5時間目 いろいろな変わり方

第1時に調べた長方形の辺の長さの変化から発展させ,面積の変化に着目させる。本時の学習では,表に整理して変わり方を調べることで,意外なことが分かる楽しさを味わわせたい。

まずは,既習の表を利用し,縦横の長さと面積との関係を調べさせた。児童は縦(又は横)の長さの変化と面積の変化に着目し,正方形のときが最も面積が大きくなることを理解する。児童はこのほかにも,「ふえ方は,9,7,5…と,2ずつ小さくなっていく」「最大を越すと面積は減っていく」などと気付く。また,グラフ化して面積の変化の様子を見やすく表そうとする児童もいた。

そこで,「1辺が塀になっていたら」というように,条件を変えた場合について問う。児童は,この場合も正方形のときが最も面積が大きくなると予想しつつ,既習を生かし,表に整理しながら考え合った。なお,第1時に用いた柵の枚数24は,本時の展開を見据えて,正方形ができる(4の倍数でもあり3の倍数でもある)数を設定したものである。

その結果,「縦横が8mの正方形ではなく,6m,12mのときが最大である」ことを知る。児童は「意外だ」「なぜだろう」と考える。ここでは,理由の考察は難しいが,「横の長さが2倍になった」「表の中では,縦横の長さの和が一定でなくなった」「縦が1増えると横は2減ってしまう」などということに気付かせ,面積とまわりの長さとの関係をあらためて考えさせた。

最後に,「2面が塀になっている角地に花だんを作る」というさらに発展した場合について考えさせた。

こうして児童は,「まわりの長さが等しい条件のときは,正方形が最大面積になる」ということを理解する。

以下は,本時の児童の振り返りである。この授業のように,「~にびっくりした」「~になるほどと思った」「~がおもしろかった」「~をやってみたい」という感想を児童にもたせるような授業作りをしていきたいと思っている。

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