ホーム > 教師の方へ > 高等学校(数学) > 授業実践記録(数学) > 数学が苦手な生徒のための線対称の指導~線対称の意味を体感させる~

教師の方へ

授業実践記録(数学)

数学が苦手な生徒のための線対称の指導
~線対称の意味を体感させる~

山口県立高森高等学校 西元 教善

1.はじめに

数学Ⅱの「図形と方程式」で座標平面における「対称」を扱う。「対称」といっても点に関しての点の対称,つまり「点対称」と,直線に関しての点の対称,つまり「線対称」がある。

中学校では点対称は回転移動によること,線対称は対称移動によることを学んでいるが,「点Aと点Bは点Pに関して対称である」とか「点Aと点Qは直線ℓに関して対称である」とか,さらにはその図形的な意味,つまり前者であれば「点Pは線分ABの中点である」こと,後者であれば「線分ABと直線ℓが垂直 かつ 線分ABの中点Mが直線ℓ上にある」ということは学んでいない。

高校の教科書(数学Ⅱ)では,前者については当然のことのように扱っている。解説でも「点Pは線分ABの中点であるから…」というように始まっている。

なお,後者は「2直線の垂直条件」や「中点の座標」が関わるのでそれに関する説明があるが,それだけでは十分に線対称の意味が理解できない生徒がいる。そこで,線対称の意味が実感できる「導入」を行い,教科書の例題等の意味が理解できて,しかもそれが解けるような授業を実践してみた。

2.本校のようす

勤務校である山口県立高森みどり中学校・高森高等学校は,山口県内では唯一の公立の併設型中高一貫教育校であり,中学校の略称が「みどり中」,高校の略称が「森高(もりこう)」である。みどり中は平成15年設置,森高は大正8年(1919年)設置で,今年に創設100周年を迎える。

学年は3クラスで,内1クラスはみどり中からの進学者で構成される特進クラス(1組)である。一方,2・3組は推薦入学や高校受験を経ての総進(総合進学)クラスである。特進クラスの生徒は主に四年制大学(少数であるが難関大学も含む)への進学を希望し,総進クラスは私大を中心に四年制大学や短期大学,専門学校への進学や就職を希望する。

本実践は,本校で取り組んでいる「一人一研究授業」のなかで行ったものである。本校は,新採用教員や本校が2校目の勤務校であるような若い教員が多く, 研修を兼ねてこの「一人一研究授業」をベテラン教員も含めて全教員が行っている。

なお,研究授業の学習指導案は教務部に提出し,年度明けに印刷・製本されて全教員に配布されるので,若手教員にとっては専門教科だけでなく他教科の授業の展開のようすもわかり,有意義な授業研究資料になっている。

3.導入~A5用紙で線対称の意味を体感する~

教科書では,2点A,Bが直線ℓに関して対称であるとは,次の[1],[2]を満たすことであると説明しておき,引き続いて例題を解くという流れである。

[1]直線ABはℓに垂直である。   [2]線分ABの中点はℓ上にある。

[1]から2直線の垂直条件を使って(直線ABの傾き)×(ℓの傾き)=-1,[2]から線分ABの中点の座標を求めて,その各座標をℓの方程式のx,yに代入して成り立つことから,Aの座標が与えられているときは,B(a,b)としてa,bの連立方程式を作って解けばよい。ただ,数学の苦手な生徒にとっては,なぜ[1],[2]が成り立てば2点A,Bが直線ℓに関して対称ということになるのかがよくわからないのである。

そこで,その原体験を導入部分でさせてみようというわけである。用意するのはA5用紙(大きさに意味はない,手頃な大きさでよい),定規,(液だれをするような)ボールペンである。

生徒にA5用紙を配布し,定規を使って図1のように直線を引かせて,その直線上にはない点●をボールペンで(大きめに)かかせる。

図1

次に,図2のように,その直線を折り目として谷折りし,点●のある部分とない部分を折り重ね,上から点●の付近を強く押さえさせる。 その後,開いてもとの状態にすると,図3のように点●の跡がつく。(そうなるように液だれするようなボールペンが望ましいが,跡が写らないときは,透かして印をつけて,開いてもとの状態にして,再度透かして印をつけさせる。)

図2

図3

次に,図4のように直線ℓ,最初の点をA,写った点をBと書き込ませる。

図4

ここで,これが2点A,Bが直線ℓに関して対称であるという状態であることを伝える。
つまり,ある直線を折り目として折ったとき,重なる2点がその直線に関して(線)対称ということなのである。一方,ある点を中心にして180°だけ回転したとき,重なる2点がその点に関して(点)対称ということなのである。

図5

次に,図5のように2点A,Bを結び,線分ABと直線ℓの交点をMとする。(これも書き込ませる。)ここで,どのようなことが成り立っているか気付くことを言わせてみる。見た感じでよい。

図5から,①「直線ABと直線ℓが垂直である。(垂直のように見える)」とか②「Mが線分ABの中点である。(中点のように見える)」とか③「Mが直線ℓ上にある。」とかの意見が出れば半ば成功である。

①で垂直であると言った生徒にはその理由を尋ねる。窮しているようであれば,図6を示す。

図6

ℓ上にMとは異なる点Pをとって,△PAMと△PBMに着目させる。これは②の理由になるが,折り返して重なっていたことから,AM=BMである。また,PM=PM(共通),PA=PBでもあるから,△PAM≡△PBMよって,∠PMA=∠PMBである。∠PMA+∠PMB=180°であるから,∠PMA=∠PMB=90°よって,AB⊥ℓである。③については,線分ABと直線ℓの交点をMとしたのであるから当然である。これから,図7のようになる。

図7

これで,[1],[2]のことが確認できた。これを端折って,いきなり[1],[2]より……と展開しても数学が苦手な生徒には訳がわからない。ここをしっかりと押えさせておく必要がある。次に,例えば,下のような問題について,(ⅰ)~(ⅳ)について質問して,本当に理解できているか丁寧に確認する。

(問題) ℓ:x+2y-10=0,A(1,2)のとき,直線ℓに関して点Aと対称な点Bの座標を求めよ。

(ⅰ) 直線ℓと直線ABの傾きはそれぞれ何であるか?
(ⅱ) AB⊥ℓからそれらにはどのような関係があるか?
(ⅲ) Mの座標はどのように表されるか?
(ⅳ) Mがℓ上にあることからどのような等式が成り立つか?
これらが理解できていることを確認後,解答をする。

図8

あとは,①と②を連立させて解けばよい。

なお,数学が苦手な生徒は(Ⅱ)の処理に戸惑うことも懸念される。そこで,ℓに垂直な直線の傾きが垂直条件から2(逆数に-をつけた数)であり,それと直線ABの傾きが等しいとしてもよい。

4.まとめ

数学が苦手な生徒に線対称の意味を理解させることと,直線に関してその上にない点と対称な点の座標を求める問題の指導について前者を強く意識して考察した後,実践した。数学が得意な生徒は意味の把握と問題解決力があるが,苦手な生徒は意味を十分に理解できないまま問題を無理やり解こうとしてわからないという挫折感を味わうことが多い。

本稿ではまず「意味の理解」を十分させて直前に学習した内容としっかり結びつけることを主眼とした。そのために紙の上で,点を対称軸に関して折り返して点を写すという作業を通じて得られる体感を重視した。実際,A5の用紙に図1から図8までのようすについて,発問を挟みながら書き込ませることで,点対称の意味の理解がよりよくできると考えたのである。

なお,下記に本時の学習指導案が載せてあるので,ご覧いただきたい。

ページの先頭へ