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１．はじめに
今日，「筋道を立てて考える力」とともに「豊かな数量感覚」「進んで生活に生かそうとする態度」が重視されている。文章題の単元においても，「こういう文章題が出たらどのように解くのか」という解き方のテクニックの獲得にとどまらず，子どもがその問題解決に用いた数学的な見方・考え方のよさを実感し，実生活にも結び付く知恵としてその活用を図る中で，そうした能力や態度を育成したいと考える。
２．単元について
「ＢはＡの□つ分なのだから…」２つの数量で構成されているものの関係を見つめるとき，一方の量を他方の量に置き換えて，１つの数量の関係だけにするとやさしく捉えられる。
「ＡもＢもここまでは同じなのだから…」２つの数量の関係を比べるとき，両者に共通な部分を差し引いて，差異だけに着目するとやさしく捉えられる。
日常の様々な場面で，事象の関係を単純化して捉えるために，「置き換え」「相殺」といった数学的なアイデアが活用されている。こうした数学的なアイデアの発見を目指す「文章題」単元を構想してみた。
本単元では，まず右図の■と▲の値を問う。
もちろんこの条件だけでは１つに決まらない。
では，どんな条件を加えれば解決できるのか？
子どもたちが見いだした条件から文章題が生まれ，なぜその条件で解決できるのかをみんなでわかり合うためにモデルや図を媒介にした学び合いが生まれる過程を歩みたい。 |
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３．学習指導計画（総時数 ５時間）
第１時に個々の子どもが発見した条件を教師が分類整理し，第２〜５時において「発見者の提案」という形で学習集団全体に投げかけていく。
| ○ | 提示された条件不足の具体場面 では答えがたくさん出てしまうことに気付くとともに，答えを１つに決めるために必要な条件を見いだす。
（文章題の答えを１つに決めるための条件を見つけるための個々の算数的活動）
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＜実際に子どもが発見した条件＞
| （一方の何個か分の値段） | りんご１，２…個分の値段，みかん１，２，…個分の値段 |
| （両方を組み合わせた値段） | りんご１個とみかん１個の値段，… |
| （両者の単価を比べて） | 単価の差，単価の比（何倍か，何個分と何個分が同じか） |
| （1000円に対して） | 1000円になる他の組み合わせ，他の組み合わせに対するおつり |
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| ○ | 問題場面を構成する２量のうち一方の「１つ分の値」がわかれば解けることを見いだした友達の提案を受け，文章題を作り既習や生活と結び付けながら解決を図る。 |
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（他者の提案した条件を検証し，そのアイデアをさらに拡張していく算数的活動）
| １ |
■と▲の他の組み合わせの場合がわかれば・・・。
| 例えば，■ ▲ ＝400など，共通部分をもった他の組み合わせの値を「条件」に見いだしたグループの提案を受け，文章題をつくり全てを一方の量に「共通部分を差し引く」アイデアを協定しながら解決を図る。 |
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| ２つの場面の同じところさえ見つけてのけてしまえば，▲が消えてしまってとても簡単な問題場面にできるよ。他の場面でも，同じような「条件」が見つけられそうだ。 |
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２ |
「共通部分を差し引く」アイデアを生かして・・・。
| 複雑な形で共通部分をもっている場合に対して，前時に獲得した「共通部分を差し引く」アイデアを活用しながら解決を図るとともに，共通部分を差し引くと簡単に捉えられる場面を探す。 |
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３ |
■は▲の何倍かがわかれば・・・。
| 例えば，■＝▲▲▲など，２量の割合を「条件」に見いだしたグループの提案を受け，文章題をつくり全てを一方の量に「置き換える」アイデアを生かして解決を図る |
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４．授業の実際
| (1) | 目標
の条件に加えて別の■と▲の組み合わせの値がわかれば，答えが１つに決まるかを検証する中で，「相殺」のアイデアに気付くとともに，それを他の場面に適用しようとすることができる。 |
(2) |
授業の実際
| 1) | ７人が，第１時に見つけた新たな条件を提案。
| ■▲（りんご１個とみかん１個のねだん）がわかれば，■と▲の値が１つに決まるのでは？ |
| Ｔ： | （値を設定）
７人の言うように，答えが１つに決まるかどうか，確かめよう。 |
Ｃ： |
■ ■ と400で1000でしょ。■ ■ ＝600とわかるよ。 |
Ｃ： |
りんご何個か分の値段がわかれば，前の時間と同じように答えは１つに決まるよ。 |
Ｃ： |
■ ■ ▲ がわかっても解けるよ。 |
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2) |
■（りんごの数）を変化させて，答えが１つに決まるかどうかを検証。
Ｔ： |
■ ■ ▲ ＝700，■ ■ ■ ■ ▲ ＝1300ではどうかな？ |
Ｃ： |
どれも■ ■ ■ ▲ ＝1000と同じところをのぞくとりんごだけの値段がわかるよ。 |
Ｃ： |
りんごの個数が５，６，…100個の条件でもできるよ。 |
Ｃ： |
とにかく，同じところをさし引けば簡単にわかるよ。 |
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3) |
どんな部分（全体集合は除く）の値がわかっても，答えは１つに決まることを発見。
Ｔ： |
■ ■ ■ ▲ ＝1000という条件だけでは答えがたくさん出た。
ところが，こんな条件が加わると，答えは１つに決まることがわかったね。
何か気付かないかな？ |
Ｃ： |
前の時間は，りんごとみかんのどちらかがわかれば答えは１つに決まるとまとめたけれど，組み合わせた条件でも答えが１つに決められた。 |
Ｃ： |
りんごだけがわかっても，みかんだけがわかっても，組み合わせがわかっても，答えは１つに決まる。 |
Ｔ： |
（りんご３個とみかん１個をかごに入れて提示。数人の子どもに，かごの中から好きなだけ取り出させる。）
どんな取り方をした「部分」がわかっても，答えを１つに決めることができるね。場面が変わっても，そうなのかな？ |
Ｃ： |
きっと，答えは１つに決まるよ。 |
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4) |
新たな場面 ■ ■ ■ ■ ▲ ▲ ＝1400 においても，どんな部分（全体集合は除く）がわかっても答えを１つに決めることができるかどうかを検証。
Ｔ： |
実は，この場面の「部分」はこんなにあるんだよ。（１３通りを提示。＜略＞）
どの条件がわかっても，答えは１つに決まるかな？ |
Ｃ： |
りんご何個か分や，みかん何個か分は絶対に決まるよ。 |
Ｔ： |
では，残りの「りんごとみかんの組み合わせ」の条件を確かめてみよう。 |
この後。子どもたちは，■ ▲ ＝400の条件を使っての解決を探る中で，「相殺」を２回用いるアイデアを発見。また，■ ■ ▲ ＝700の条件の場合は，どんな相殺の仕方をしても解決できないことを発見していった。 |
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５．実践の成果と今後の課題
| ○ | 子どもたちの課題解決の様相を省略して述べてきたが，実際には各班（４，５人）に試行のモデルとなる条件カードや考えを話し合うホワイト・ボードを配布して学び合わせた。「解けないよ。」と言っていたグループが「解けた！」というグループにかかわり，相殺のアイデアを共有していく過程に，数学的な見方・考え方のよさを実感する姿を見ることができた。 |
○ |
本時では，最後に２つのお菓子の詰め合わせを提示し損得の決定を迫る中で，相殺のアイデアの有効性を味わわせた。しかし，より日常的な場面でも有効であることを実感させる手だてをさらに考えてみたい。 |
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