数学切り抜き帳
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正四面体の体積
桜花学園大学教授
岩井 齊良
 1辺の長さがaの正四面体の体積はいくらか.
 この問題は,真っ正直に考えればわかる問題である.
 じつは,そんなにかた苦しく考えなくても,簡単に答を求める方法がある.

 簡単な方法というのは,

    「立方体の中に,正四面体が隠れている」

ことを利用する方法である.

 立方体の(8つの)頂点のうち,辺ではつながらない頂点の組を考えよう.

 立方体の1辺の長さを1とすると,上の図の2点間の距離はいずれも である.
 したがって,この4点は正四面体の頂点になっている.

 この正四面体の体積はいくらだろうか.
 まず,立方体の体積は1である.
 立方体から次のかたちの四面体を4つ切り捨てると正四面体になる.

 この四面体の体積は,

     

である.
 したがって,上の正四面体の体積は,

     

 以上により,

   1辺が の正四面体の体積は

であることがわかった.
 一般に,1辺が a の正四面体の体積を V とすると,
     

だから,

      

となる.

 以上の説明だけではにわかに信じられないという人のために,通常のまともな計算で確かめておこう.

 1辺が a の正三角形の高さは, である.
したがって,この正三角形の面積 S は,

      

 1辺が a の正四面体の高さを h とすると,

      

 したがって,正四面体の体積 V は,

    

となる.

まとめ

立方体の中に,正四面体が隠れている.
この正四面体の体積は,立方体の体積の1/3である.