（θ =90°の場合　三平方の定理）
　（一般の場合　余弦定理）

　ベクトルによる記法を用いているだけで，内容は三平方の定理と余弦定理に他ならないことを確認しながらベクトル記法になじませ，三平方の定理と余弦定理との関係（特別の場合と一般の場合）を思い出し，両者のずれに注目する。すなわち，の部分が一般の三角形の場合と直角三角形の場合との「ずれ」を表現する量であり，この量が0になったとき，余弦定理の形は三平方の定理の形と同じになる。
　定数倍の部分は除き，という量には上記のような意味があり，既習事項の中に自然に現れているものであることに生徒の注意を向けさせたのちに，この量に名前をつけておく，という流れで内積を定義する。

　ここまでに，記法を変えて余弦定理が3度現れた。通常は，ベクトルの成分を用いて内積を表す式を導出する際に初めて余弦定理を持ち出すことが多い。ここでは，初めから余弦定理に焦点を当てている。等式中，ベクトルの大きさの平方がすべてベクトルの成分を用いて表されるのだから，・ を成分から計算する式が自然に導ける。

　2つのベクトル，， について，その大きさを変えることなく，なす角を変化させてみる。このとき，平行四辺形の面積が最大になるのはなす角が直角の場合であり，その面積は である。一般になす角がθ の場合の面積は となる。
1=sin²θ ＋cos²θ より，次を得る。

なす角θ の場合の平行四辺形の面積を S と表すことにすると，

となる。θ =90°の場合には右辺第二項が 0 となって消え，なす角が直角からずれるほど，面積の平方は小さな値となり，内積の平方の値は大きくなる。直角からのずれに注目して内積の導入とした見方からはごく自然に了解できる等式である。このように，正弦と余弦はいつも対にして扱うと見通しがよくなる。この等式からは，， を同じ始点を持つ有向線分として表したものを2辺に持つ三角形の面積が

で求められることも見やすい。