定積分の説明において教科書では，次のように説明している。

「関数 f (x) の原始関数の1つを F (x) とすると，F (b) - F (a) は，C に無関係に決まる。この F (b) - F (a) を，f (x) の a から b までの定積分といい， と書く。そして，a をこの定積分の下端，b を上端という。関数 F (x) に対し，F (b) - F (a) を で表す。」

　生徒にとって，不定積分が終わった段階では，あまりにも唐突である。確認テスト等をやった時も，難しく定着ができていないことが多かった。そこで，面積を求めることを利用した次の展開をしてみた。

関数 において，右の図の面積を求めさせた。 [1] x = 0 から x = 4 までの面積を計算させる。 　面積を S として， 　例として，x = 0 から x = 5 までの面積を計算させる。 　x = 0 から x = 7 までの面積を計算させる。

[1]

[2] x = 0 から x = a までの面積を計算させる。 　　　　 　このことから S は a の関数である。 　よって，S をS (a) と書くことにする。 　　　 　例として，S (3) ，S (7) を計算させる。

[2]

　S (a) は，a の関数であることを慣例で，S (a) をS (x) で書くことを説明する。

　次に

[3] x = 1 から x = 3 までの面積を計算させる。 　　　　 　例として，x = 1 から x = 5 までの面積を計算させる。 　x = 1 から x = 7 までの面積を計算させる。

[3]

[4] x = a から x = b までの面積を計算させる。

[4]

　ここで， を x で微分すると，
　そこで， が何を表せているかを考えさせる。……少し時間を取る。

　より，S は， を積分することで求まる。x = a から x = b までの面積 S は，

　　　　S = S (b) - S (a) 　　

　これを，上端 b，下端 a を書き入れて， と書き， の a から b までの定積分という。
　計算方法として
　 と表すので，
と説明する。

[5] 定積分の性質については 　 　　　　を説明し，そこから を説明する。

[5]

　次に定積分の計算を練習させ，面積の問題を説明する。

　いきなり，「関数 f (x) の原始関数 F (x) の1つにおいて，x = a から x = b までの値の変化 F (b) - F (a) について考えてみよう。」といわれても，あまりピンと来ないのではないか。面積を求める説明の中に，もちろん

　　　 も必要である。

　しかし，特に「数学 II 」だけで高校の数学を終わる生徒にとっては，具体的な面積を求める説明を利用した定積分の説明の方が,わかりやすいのではないか。
　定積分の計算方法については，わかりやすい定積分の説明の後に練習させればよいと思う。