L，M，Nの設定など難しい証明だと感じていたので反応が不安であったが，見事に期待に応えてくれた生徒がいた。次時のはじめでクラスに紹介し，皆の前で賞品（数学の本）をプレゼントし，正解者を大いに褒めた。
　実は，本校で使用している教科書では，この先の§2円の円周角定理の応用の例題として，次のような問題が掲載されている。

例題 △ABCのAからBCに下ろした垂線とBからACに下ろした垂線の交点をHとする。CHとABの交点をRとすると，4点A，R，H，Qは同一円周上にあることを示せ。

　この問題が証明できれば，∠ARH＝90°となり，点Hが垂心として存在することになる。教科書でもこの例題の証明の後，補足として「垂心」について触れている。この証明の存在に気付き，証明を写して提出する生徒が出たら賞品はどうしようかとも思ったが，期待していた正解を自身の力で得た生徒が出て，出題した私も大変うれしかった。
　この例題による問題の別証。

［証明2］
　補助線QPを描く。
∠HPC＝∠HQC＝90°なので，4点H，P，Q，Cは線分HCを直径とする同一円周上。したがって，円周角定理より∠QHC＝∠QPC…[1]
また，∠AQB＝∠APB＝90°なので，4点A，B，P，Qは同一円周上。したがって，円に内接する四角形の性質より∠BAQ＝∠QPC…[2]
[1]，[2] より∠QHC＝∠RAQなので4点A，R，H，Qは同一円周上。
　∠AQH＝90°なので，∠ARH＝90°となり垂心Hの存在が示された。

　この例題はかなり難しい証明問題だと思うが，［証明1］の話題が記憶に残っていたせいか，生徒の反応が思ったより良かった気がした。

［証明3］
　△ABQと△ACRについて，2つの角が等しいので，△ABQ∽△ACR
つまり，AR：AQ＝AC：AB

　したがって，

　同様にして，

　したがって，

よって，チェバの定理の逆よりAP，BQ，CRは1点で交わることが示された。

　本校ではチェバ，メネラウスはこの単元では指導しないことにしている。それは，ベクトルの単元で，例の一次独立の問題に対し，裏技に終始させないためでもある。

　［証明1］から［証明3］までを振り返ると，それぞれ特徴があって興味深い。
［証明1］は，証明のための補助線の設定が絶妙で，その分，証明は明快である。
［証明2］は，円を用いた巧妙な証明と言えよう。ただ，自力で発見するには，かなりのセンスが必要だと思う。私自身，教科書の証明の上手さに舌を巻いた。
［証明3］は，“1点で交わることの証明”に最適のルーツであるチェバの定理の利用なので，思考の流れが最も自然であるように感じる。ただ，チェバの定理自体の取り扱いに問題点も残る。