| 授業実践記録 | |
| 場合の数の実践例 | |
| 大阪府立長吉高等学校 藤井一正 |
| ある条件のもとで起こりうる場合を整理し，もれや重複のないようにその数を数え上げることを指導するのが「場合の数」の章である．その基本となる考えが和の法則，積の法則である． いろいろな場合の数を数えることは，日常でも大切なことであり，また，次章で学ぶ「確率」の計算の基礎としても大切である． 身近な話題の中から，和の法則や積の法則を考えるものとして，取り組んでいただきたい．
「自動券売機で470円を支払うには，各硬貨を何枚ずつ使えばよいだろうか？」 わざわざ，10円硬貨を47枚投入することは皆無であろう． （ある一定の枚数を投入した段階で，自動券売機が受け付けてくれないかもしれません．また，そのような設定をしている自動券売機が多いと聞いている．） はじめからお釣りをもらうことを前提にして，千円札や500円硬貨を使用してお釣りをもらう，というようにすることも多いだろう．しかし，お釣りをもらうことで，財布が，もとの状態より重くなってしまう． 消費税の導入後，計算が苦手・邪魔くさいとのことで，機械任せ・お店任せ（笑）で支払う人が多いようだ． 少しだけ条件を付けて，「10円，50円，100円の硬貨を使って，自動券売機で470円を支払うには，各硬貨を何枚ずつ使えばよいだろうか．だだし，使用する硬貨は10枚以下とする．」（使用しない種類の硬貨があってもかまわない）を考えてみよう． まず，最初に思い浮かぶのが，「100円を4枚と，50円を1枚と，10円を2枚使用」である．でも，10円がいっぱいあるからといって，100円を4枚と，10円を7枚使用では・・・・合計11枚となってしまう． 100円を3枚の場合は， 100円を2枚の場合は， 100円を1枚の場合は， 100円を0枚の場合は，・・・・・ といろいろな場合がありそうだ． （解答例） 10円，50円，100円の硬貨をそれぞれX 枚，Y 枚，Z 枚とすると 10X＋50Y＋100Z ＝470 ∴ X＋5Y＋10Z ＝47 ………[1] また， X＋Y＋Z ≦10 ………[2] この [1] ，[2] を満たすX，Y，Zの整数解を求める． [1] より 10Z ＜47から， 0≦Z ≦4 そこで，Z について次のように分ける．
[2] を満たすのは，Y ＝1，X ＝2の場合 Z ＝3のとき，X＋5Y ＝17， [2] を満たすのは，Y ＝3，X ・/i>2の場合 Z ＝2のとき，X＋5Y ＝27， [2] を満たすのは，Y ＝5，X ＝2の場合 Z ＝1のとき，X＋5Y ＝37， [2] を満たすのは，Y ＝7，X ＝2の場合 Z ＝0のとき，X＋5Y ＝47， [2] を満たさないから，適さない．
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