星形多角形の秘密（２年）
愛媛県宇和島市立城北中学校
中村　米貴
１．教材について
　いくつかの点を何点かとばしに結んで得られる多角形を星形多角形という。いろいろな方法で星形五角形の頂点の和を求めることや星形六角形，星形七角形，星形八角形，……の頂角の和を次々と求めて，いくつかの規則性を発見することは，実に興味深いテーマである。生徒自らが意欲的に，しかも，探究的に学習を進めることのできる課題学習に適した教材であると考える。

２．授業の実際
　・題材　「星形多角形の秘密」（２年）
　・単元名　図形の調べ方
　・単元計画

第１次平行線と角３時間第５次合同条件と証明の進め方１時間
第２次三角形の角２時間第６次練習問題１時間
第３次三角形の合同２時間第７次課題学習２時間(本時)
第４次証明２時間第８次　　〃　

　・本時の指導

教師の発問と活動生徒の活動と反応反応への評価
　第１時
(1) 本時の学習課題を提示する。		　　
　右の図のように５つの点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがある。
　これらの点を２つおきに結んでえられる星形五角形の頂角の和
∠ａ＋∠ｂ＋∠ｃ＋∠ｄ＋∠ｅ について調べてみよう。
(2) 予想させる。
　・頂角の和は何度になると思いますか。
(3) いろいろな方法で調べさせる。
　・何度になるか調べてみましょう。

















(4) 各自で問題に取り組ませる。
　・180度になることの説明を各自で考えてみましょう。






(5) グループ学習で自分の解き方を説明させて，いろいろな考え方を見つけ出させる。
　・グループを組んで，自分が考えた解き方を説明してみよう。
＊机間相談により，考え方のよいところ，努力したところを認め，賞賛する。
(6) 見つけた解き方を発表させる。

　
・90度，180度，360度



・分度器で実測
　179度，180度，181度
・切り貼り法

・鉛筆回転法

・問題意識を持つ。
　なぜ，180度になるのだろう？
・補助線をひいて，試行錯誤している。
・５つの頂角を１つの三角形の内角に集める。
・五角形の内角・外角を利用する。
・その他
・自分の解き方を説明している。
・友だちの解き方を聞き，納得したり，新しい方法を考えている。








 　
・180度と答えた生徒が多い。



・分度器を使って実測する方法と切り貼りによる方法で調べている生徒が多い。鉛筆回転法は，生徒からは出てこないが優れた方法なので，教師が紹介し，説明した。












・なぜ，180度になるのか疑問を抱き，考えている。
・５つの頂角を１つの三角形の内角に集めて考えようとしている生徒が多かった。





・４人の内，最後まで解決できていたのは１人か２人のグループが多かった。
・友だちの解き方を聞くことによって，問題解決の糸口になった生徒が多い。
＜発表された生徒の解き方＞
　第２時
(1)　新しい問題を設定させる。
(2)　各自で問題に取り組ませる。
・自分でつくった星形多角形の頂角の和を求めてみよう。









(3)　見つけた解き方を代表者に発表させる。

・新しい問題を見つける。
　他の星形多角形の頂角の和は，何度になるのだろうか？
・点をとり，線を結び，図をかいている。

・補助線をどこにひけばよいか考えている。
・鉛筆回転法を使って考えている。


 ・他の星形多角形はかけるのか，その頂角の和は何度になるのかという問題意識を持った生徒が多い。
・星形六角形は一筆描きでかけないので，戸惑っている。
・星形七角形は１点とばしと２点とばしで２つできることに気づいた生徒は数人。
・星形六角形の頂角の和は，ほとんどの生徒が求めている。
＜発表された生徒の解き方＞














(4)　レポート作成の課題を与える。
1) 頂角の和が180度になる星形多角形を調べよう。
2) 星形偶数多角形の性質を調べよう。

　 ・星形五角形の頂角の和を求めるときに使った，

の考え方がよく使われていることに気づいた生徒は数人。
＜生徒のレポート例＞
(1) 頂角の和が180度になる星形多角形
　星形三角形(０点とばし)，星形五角形(１点とばし)，星形七角形(２点とばし),星形九角形(３点とばし)，星形十一角形(４点とばし)，星形十三角形(５点とばし)，・・・星形(２ｎ＋１)多角形の(ｎ−１)点とばし
(2) 星形偶数多角形の性質を調べよう。
　１点とばしの星形ｎ角形の頂角の和は，180ﾟ×(ｎ−４)で求められる。
　２点とばしの星形ｎ角形の頂角の和は，180ﾟ×(ｎ−６)で求められる。
　Ｘ点とばしの星形ｎ角形の頂角の和は，180ﾟ×｛ｎ−(２Ｘ＋２)｝で求められる。

３．生徒の反応
　授業では，生徒はみんな真剣に取り組んでいた。第１時の星形五角形の頂角の和を求めることはむずかしかったようで，最後まで解決できた生徒は数人ではあったが，上記(6)「見つけた解き方を発表させる」で示した４通りの解き方が出てきた。エのような予想外の解き方を考えていた生徒もいた。第２時では，生徒は試行錯誤しながらも問題を設定し，既習内容を利用して，思ったよりも簡単にいろいろな星形多角形の頂角の和を求めることができた。
　さらに，レポート例に見られるように，規則性を発見し，一般的な法則を導き出すことができた生徒も多い。また，問題を解決していく過程において，数学的な見方・考え方のよさや数学の美しさを感じとった生徒も多いようである。

４．今後の課題
　どの方法による解き方が最も効果的で一般的なのかをしっかり吟味，強調する必要があった。レポートの課題が適切であったかどうかも検討する必要がある。オープンな問題を扱う場合は，教師が全体の構成をしっかり調べ尽くしてから，生徒に課題を提示する必要がある。

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