１．はじめに

　学習指導要領解説では，証明の必要性と意味及び方法として，次の２つのことをはっきりさせるとしている。

ア）	証明は，命題が例外なしに成り立つことを明らかにする方法であること。
イ）	証明をするためにかかれた図は，すべての代表として示されている図であること。

　このような「証明のもつ一般性」を実感させる課題は難問が多い。仕方のないことである。簡単な課題では，証明の一般性に「すごい」と実感しにくいのである。本稿では，「平行四辺形になる条件」を適用する証明の授業で，「証明のもつ一般性」を実感させようと試みた授業を紹介する。さらに，その授業の中で発生した問題点，その改善案をあげてみることにする。

２．本時の授業構想

《前時の課題》 　正三角形ＡＢＣの内側に点Ｐをとり，ＰＢ，ＰＣをそれぞれ１辺とする正三角形ＱＢＰ，ＲＰＣを，△ＰＢＣの外側につくる。このとき四角形ＡＱＰＲはどんな四角形になりますか。

△ＰＢＣ≡△ＱＢＡ≡△ＲＡＣ （２辺とその間の角がそれぞれ等しい） ↓ ＰＱ＝ＲＡ，ＱＡ＝ＰＲ ↓ 四角形ＡＱＰＲは平行四辺形 （２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい）

　ここまででは，「証明のもつ一般性」の実感は難しいと考える。

　そこで，点Ｐを正三角形ＡＢＣの外側に動かして考察する。

《本時：Ｐの位置を動かしてみる》
ＡＣの右側	ＡＢの左側	ＢＣの下側	ＢＣの下側   Q,Rを上側にとる
同様な証明で，△ＰＢＣ≡△ＱＢＡ≡△ＲＡＣ→四角形ＡＱＰＲは平行四辺形

　見た目は多様な図に見えるが，「一度証明したことと同じこと」というように認識したとき，「証明の一般性」は，感動をともなって実感できると考える。

３．本時の実際（指導案）

（１）

題材名

図形の性質と証明

（２）

指導計画

	二等辺三角形	…	３時間		直角三角形の合同	…	３時間
	平行四辺形の性質	…	２時間		平行四辺形になる条件	…	３時間（本時３／３）
	長方形，ひし形，正方形	…	２時間		平行線と面積	…	２時間
	問題	…	２時間

（３）

本時のねらい

	解決した課題を条件変えして，さらに深く考えることに興味を持って取り組む。（関意態）
	新たに証明し直す必要がない場面を的確にとらえることができる。（見考）

（４）

本時の展開

学習活動		学習内容		指導上の留意点
	１　前時の学習の確認
	《前時の課題》 　正三角形ＡＢＣの内側に点Ｐをとり，ＢＰ，ＣＰをそれぞれ１辺とする正三角形ＱＢＰ，ＲＰＣを，△ＰＢＣの外側につくります。 　このとき四角形ＡＱＰＲはどんな四角形になりますか。 平行四辺形になる 《理由》合同な三角形 〜対応する辺 〜２組の対辺が等しい
				・ 点Ｐが正三角形ABC内のどの位置でも成り立つことをおさえる。 ・ 証明記述と図を照合し確認する。
	２　条件変え（発展）の考察
	（１） 課題提示「Ｐを正三角形ABCの外にするとどうか」
	《本時の課題》 　正三角形ＡＢＣの外側に点Ｐをとり，ＢＰ，ＣＰをそれぞれ１辺とする正三角形ＱＢＰ，ＲＰＣを，△ＰＢＣの外側につくります。 　このときも，前時の結論「四角形ＡＱＰＲは平行四角形」は保証されているでしょうか。
				・ 作図ツールで点が動く様子を演示する。生徒を指名して操作させてもよい。
	（２） 課題を解決する
	・ 図をかいて見通しを立てる
	図Ｉ 図ＩＩ 図ＩＩＩ 図ＩＶ (ACの右側) (ABの左側) (BCの下側) (BCの下側) 図ＩＩＩは凹四角形 図Ｉ，ＩＩ，ＩＶでは平行四辺形になっているようだ。   正三角形を 外側→上側			・ 正三角形ABCがかかれているワークシートに点Ｐをかき込み，図Ｉ，図ＩＩ，図ＩＩＩなどを作成させ，△PBC，△RAC，△QABが合同になりそうなことや，平行四辺形になっている様子を確認する。ここでは証明既述にはこだわらず，直観的に確認できればよい。
	・ 根拠を持ちながら筋道立てて確かめる   合同な三角形〜対応する辺〜正三角形の辺〜２組対辺が等しい
	（３） 図の構造を議論する
	「なぜ点Ｐを動かしても平行四辺形になるのか」			・ △PBCの各辺を１辺とする「正三角形」であること，正三角形の性質に依拠していることを全体で確認する。
	◎ 点Ｐを動かしても保存される   「同じ」 … ３つの正三角形→等しい辺，60°
	◎ 「２辺」は前時証明と同じ，「間の角」を確認   図Ｉ　 ∠PCB=∠RCA=60°+∠ACP 図ＩＩ　 ∠PCB=∠RCA=60°-∠ACP			・ 間の角が等しい理由を生徒どうしで説明し伝え合わせる。
	（４） △ABC,QBP,RPCが正三角形でなかったらどうなるかを図示して確認する			・ 二等辺三角形，正方形などでも成り立つ。「等しい辺」や「等しい角」を根拠に説明がつくことを確認する。
	（５） 四角形AQPRが特別な形になるのは，Ｐがどんな位置のときかを議論する	・ 長方形（∠BAP=150°） ・ ひし形（PA=PB） ・ 正方形（長方形かつひし形）
	３　まとめと，さらなる条件変え（発展）の示唆
	・ 証明は，同じ条件の全ての図を代表している。（証明の一般性） ・ 長方形，ひし形，正方形は，平行四辺形の一種と見ることができる。

４．実践を終えて（問題点と改善策）

　授業をしてみて感じたこと，研究協議で議論されたこと，指導助言いただいたことをまとめてみる。

　《問題点１》図をかくことが生徒には困難

	・	１つの図をかくために，正三角形を３つかく必要があり，時間がかかる。
	・	かかる時間に個人差が大きい。
	・	正確にかける生徒とかけない生徒がいる。
	・	正三角形を楽に手早くかかせようと，三角定規の６０°の使用を許したが，却って不正確な図になり，誤解やつまずきが生じた。

　《問題点２》４点ＡＱＰＲが一直線上に並ぶ図をかく生徒，図�Vを考える生徒が多かった。

・ ∠ＰＢＣ＝６０°になる点Ｐの位置   → △ＡＢＣの外接円上に点Ｐをとると，４点ＡＱＰＲが一直線上に並ぶ。 ・ その付近に点Ｐをとると，一直線上に見えてしまう。 ・ 生徒にかかせると，上記位置に点Ｐをとることが多い。 ・ 結論（四角形ＡＱＰＲは平行四角形が保存される）が認められないという学習集団の総意になるおそれがある。

　《問題点３》この課題の難易度が高い。

	・	「平行四辺形になる条件」を適用する証明問題自体難しい。
	・	ただでさえ難しいこの学習内容を，この課題を通して学習させる必要性はあるのか。

　【改善案】

	・	ひとつだけ完成図を生徒に与える。
	・	点Ｐを動かした図については自分でかかせる。
	・	正確な図が必須。正三角形は，定規６０°などよりも，コンパスを用いた作図の方が速い。
	・	一直線上に並ぶ図を「特殊」として紹介する。
	・	「特殊」になる点Ｐを集めると△ＡＢＣの外接円になる状況を紹介する。
		〜３年「円周角の定理」への伏線
	・	問題点「正三角形ＡＢＣの内部（外部）に点Ｐ〜」という本稿の展開
		↓
		別の展開案
		「△ＡＢＣがあり，そのＡＢ，ＢＣ，ＣＡそれぞれを１辺とする正三角形ＰＡＢ，ＱＢＣ，ＲＡＣをＢＣの上側に作る」
	・	「平行四辺形になる条件」を適用する証明の学習としては，もっと平易な課題がよい。「証明の一般性」を実感させる授業の一例としての課題である。年間ないし単元指導計画中の一つの目玉としての授業である。もちろん，別の課題もあり得る。