●図形の性質と証明No.６

 【2】特別な平行四辺形 

    四角形の進化(？)の様子    
   

〔定義〕
☆ (　　　　　)が等しい四角形を
長方形という。
☆ (　　　　　)が等しい四角形を
ひし形という。
☆ (　　　　　　　　　　　　　　　　　)
四角形を正方形という。

長方形ABCDにおいて
定義から
    (　　　　)＝(　　　　)
    (　　　　)＝(　　　　)
２組の対角がそれぞれ等しいから
長方形ABCDは平行四辺形である。
ひし形ABCDにおいて
定義から
    (　　　　)＝(　　　　)
    (　　　　)＝(　　　　)
２組の対辺がそれぞれ等しいから
ひし形ABCDは平行四辺形である。
まとめ    長方形やひし形や正方形は平行四辺形の仲間である。


長方形やひし形の対角線の性質を調べます。
〔長方形の対角線の性質〕長方形の対角線は(それぞれの中点で交わり)等しい。
〔証明〕長方形ABCDの対角線ACとDBをひく。
△ABCと△(　　　　　)において

長方形の定義から ∠ABC＝∠(　　　　　)(＝90 °) ・・・[1]
長方形は平行四辺形だから対辺がそれぞれ等しいから
  (　　　　　)＝(　　　　　) ・・・[2]
　　　また (　　　　　　　　　　　　) ・・・[3]
[1]，[2]，[3]より(　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　)から
  △ABC≡△(　　　　　)    
　したがって AC＝DB    

〔ひし形の対角線の性質〕ひし形の対角線は(それぞれの中点で)垂直に交わる。
〔証明〕ひし形ABCDの対角線AC，BDの交点をOとする。
△ABOと△(　　　　　)において

ひし形の定義から (　　　)＝(　　　) ・・・[1]
ひし形は平行四辺形だから
対角線はそれぞれの中点で交わるから
  (　　　　　)＝(　　　　　) ・・・[2]
　　　また (　　　　　　　　　　　　) ・・・[3]
[1]，[2]，[3]より(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)から
  △ABO≡△(　　　　　)    
したがって ∠AOB＝∠(　　　　　) ・・・[4]  
また ∠AOB＋∠(　　　　　)＝180° ・・・[5]  
[4]，[5]より∠AOB＝∠(　　　　　)＝90°
したがって　AC  BD

〔別証明〕△ABDに注目して，
定理『二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する』を用いる。


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