●図形の性質と証明No.５
【2】平行四辺形になるための条件
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四角形の辺や角や対角線にどんな条件を付け加えると平行四辺形になるのか，どんなふうに作図すると平行四辺形になるのか，その条件について調べます。 |
〔平行四辺形になるための条件１(定義どおり)〕
２組の対辺がそれぞれ( )な四角形は，平行四辺形である。 |
〔平行四辺形の性質１の逆〕が成り立つかどうか，調べます
四角形ABCDで，AB＝DC，AD＝BC と仮定する。
〔証明〕 点BとDを結ぶ。
△ABDと△( )において
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| 仮定から |
( )＝( ) |
・・・[1] |
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( )＝( ) |
・・・[2] |
| また |
( ) |
・・・[3] |
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[1]，[2]，[3]より( )から
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△ABD≡△( ) |
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| したがって |
∠ADB＝∠( ) |
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∠ABD＝∠( ) |
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錯角が等しければ平行だから( )//( )，( )//( )
２組の対辺がそれぞれ平行だから，四角形ABCDは平行四辺形である。
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〔平行四辺形になるための条件２(性質１の逆)〕
２組の対辺がそれぞれ( )四角形は，平行四辺形である。
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〔平行四辺形の性質２の逆〕が成り立つかどうか，調べます。
四角形ABCDで，∠A＝∠C，∠B＝∠Dと仮定する。
〔証明〕四角形の内角の和は360°であるから
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∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360° |
・・・[1] |
| [1]に∠A＝∠C，∠B＝∠Dを代入すると |
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∠A＋∠B＋∠A＋∠B＝360°
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２∠A＋２∠B＝360° |
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| 両辺を２でわると ∠A＋∠B＝( °) |
・・・[2] |
| 頂点Aにおける外角∠DAEをつくると |
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∠( )＋∠DAE＝180° |
・・・[3] |
[2]，[3]より ∠( )＝∠( )
同位角が等しければ平行だから( )//( )，
同様にして( )//( )
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〔平行四辺形になるための条件３(性質２の逆)〕
２組の対角がそれぞれ( )四角形は，平行四辺形である。
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〔平行四辺形の性質２の逆〕が成り立つかどうか，調べます
四角形ABCDの対角線の交点をOとし
OA＝OC，OB＝ODと仮定する。
〔証明〕△ABOと△( ) において
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| 仮定から |
( )＝( ) |
・・・[1] |
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( )＝( ) |
・・・[2] |
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また対頂角は等しいから
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∠( )＝∠( ) |
・・・[3] |
[1]，[2]，[3]より( )から△ABO≡△( )
四角形ABCDは平行四辺形である。
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〔平行四辺形になるための条件４(性質３の逆)〕
対角線が( )で交わる四角形は平行四辺形である。
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最後に →  を証明します。
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四角形ABCDで，AD//BC，AD＝BC と仮定する。
△ABDと△CDBにおいて
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〔平行四辺形になるための条件５〕
１組の対辺が( )でその( )が等しい四角形は平行四辺形である。
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