［等差数列・等比数列・無限級数の和ワークシート］

たくさんの自然数の和を求めてみよう

【考え方　そのI】

☆月見だんごは全部でいくつ？

（１） 　数学的にいうと
（　　）個 　→　 １＋２＝（　　）ということ
（２）
（　　）個 　→　 １＋２＋３＝（　　）ということ
（３）
（　　）個 　→　 １＋２＋３＋４＝（　　）ということ
だんごを逆さまにして並べると・・・
    計算方法を考えてみよう    
   
 
 
（４） １＋２＋３＋・・・＋10　はどんな計算をすれば求められるでしょうか？
 
    計算方法を考えてみよう    
   
 
 


【考え方　そのII】

（１） １から10までの和
１＋２＋３＋・・・＋10＝（　　　）
　ひっくりかえして，たしあわせてみると・・・
  Ｓ＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10
＋） Ｓ＝10＋９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１
２ Ｓ＝
  Ｓ＝
（２） １から100までの和
１＋２＋３＋・・・＋100＝（　　　）
　ひっくりかえして，たしあわせてみると・・・
  Ｓ＝１＋２＋３・・・＋99＋100
＋） Ｓ＝100＋99＋98＋・・・＋２＋１
２ Ｓ＝
  Ｓ＝
（３） １からnまでの和について，公式を作りなさい。
    １＋２＋３＋・・・＋n＝

奇数だけの和

☆ 準備 　・１＋３
 ＝（　　　）←（　　　）
    　・１＋３＋５
 ＝（　　　）←（　　　）
    　・１＋３＋５＋７
 ＝（　　　）←（　　　）
☆  

左の墓石を見て考えると，
１＋３＋５＋７＋９ ＝（　　　）←（　　　）
 
５個  
☆ 公式を作ってみよう
・ １＋３＋５＋ ・ ・ ・ ＋△ ＝            ＝           
     
  □個   □を使って表すと   △を使って表すと
・ △の代わりに，nを使うと，
  １＋３＋５＋ ・ ・ ・ ＋n ＝               

偶数だけの和

左の碁石を見て，偶数だけの和を，計算で求めましょう。
（１） ２＋４＋６＋８ ＝
（２） ２＋４＋６＋８＋10 ＝
（３） ２＋４＋６＋８＋10＋12＋14＋16＋18＋20 ＝

発展　等比数列の和を求めよう

１に次々と２をかけていったときにできる数の列
　　１，２，２２，２３，２４， ・ ・ ・  や
１に次々と３をかけていったときにできる数の列
　　１，３，３２，３３，３４， ・ ・ ・  などを等比数列といいます。

準備運動　実際に計算で求めよう。
（１） １＋２ ＝（　　　）
（２） １＋２＋２２ ＝（　　　）
（３） １＋２＋２２＋２３ ＝（　　　）
（４） １＋２＋２２＋２３＋２４ ＝（　　　）

これを見方を変えて計算してみると・・・
☆ たとえば（３）なら・・・  
  Ｓ ＝１＋２＋２２＋２３ ・・・[1]          
  両辺に２をかけると，  
  ２Ｓ ＝ ・・・[2]
  [2]式から[1]式をひくと，  
  ２Ｓ−Ｓ
＝                                    
＝
 
  よって　Ｓ  
☆ 上の方法で１から２４までの和を求めなさい。  
  Ｓ ＝１＋２＋２２＋２３＋２４ ・・・[3]
  ２Ｓ ＝ ・・・[4]
  [4]式から[3]式をひくと，  
  Ｓ ＝  
☆ では，１から３５までの和を求めなさい。  
  Ｓ ＝１＋３＋３２＋３３＋３４＋３５ ・・・[5]
  ３Ｓ ＝  
  [6]式から[5]式をひくと，  
  ３Ｓ−Ｓ ＝  
  よって　Ｓ ＝  
★ 下のような等比数列を無限にたし続けると，その和は∞（無限大）になるのでしょうか，それとも・・・。
  Ｓ
＝ １ ＋ １２ ＋ １３ ＋ １４ ＋ ・・・
２ ２ ２ ２
 


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