長野県中学校数学教諭

１．　授業の位置付け 　平面図形について，図形に対する直観的な見方や考え方を深めるとともに，論理的に考察する基礎を培うために，作図ツールを用いた平面図形の観察，操作や実験を，１学年「平面図形」の学習に位置づける。 ２．　教材化 　(1) 　図形領域における本単元の位置 　３年間の図形領域の学習でつける力は，「論理的に考察したり表現したりする能力」である。図形領域の学習の入り口となる１年では，図形の構成の様子を判断できるようになって欲しいと願い，「位置関係を見抜く力」を育成したいと考えた。 　(2) 　単元に寄せた教材化 　1) 　身の回りに見られるマークを分類する 　生徒に，身の回りに見られる様々なマークを分類させる。例えば，線対称な図形だと判断して，図１の〜を一つの仲間と考えた場合，線対称だと判断した思考の過程を振り返らせると，念頭操作で行っていた行為を具体的な活動に置き換えて「二つに折るとぴったり重なるような線（対称軸）があるから」などと説明する。 　次に，線対称であると判断した図形について，紙を折らずに線対称であることを説明できるかと問いかける。生徒はまず対称軸を判断し，対応する点同士を結び，対称軸と交わったときの角度や対称軸との交点から両端までの距離を調べる。これにより，線対称な図形に共通する性質として「対応する点同士を結んだ線分は，対称軸によって垂直に二等分される」ことが明らかになる。 　このように，マークを分類し，判断の過程を振り返らせることによって，対称図形の性質を見抜くことができると考える。（点対称についても同様な学習が期待できる） 図１　分類による思考の深まり 　2) 　麻の葉模様を動的に観察する 　麻の葉模様(図２)は，最小単位の二等辺三角形(網掛け部)が連続した図形と見ることができるので，最小単位を線対称の軸や点対称の中心を決めて移すことにより，作図することができる。 　図３は，二等辺三角形アをもとに，いずれかの辺や頂点をそれぞれ線対称の軸や点対称の中心にして順次移すことによって作図したものだが，その方法には様々なパターンがあり，作図の過程は判断できない。しかし，アを動かしたときに，作図に用いた対称の性質が保たれた状態で他の二等辺三角形も動くとすれば，その動き方や動かした結果を観察することで作図方法が判断できる。 　3) 　作図ツールの利用価値 　本単元では作図ツールとして「ジオメターズスケッチパッド（以下ＧＳＰと表記）」を用いる。ＧＳＰは，作図したときに用いた性質を保ちながら変形させることができるため，作図と変形を通して帰納的な結果を得ることから，図形の構成の様子を判断することができる。 　(3) 　本時に寄せた教材化 　図３の二等辺三角形アをＧＳＰ上で動かすと，他の二等辺三角形イ，ウも連動して動き，二等辺三角形同士の位置関係を観察することができる。例えば，アを横に動かすと，イとウはアと線対称の位置になっていると予想できる（図４）。この予想を確かめるためにアを回転させてみる（図５）。イはアと線分ｍを対称軸とした線対称の位置になっていると判断できるが，ウはアと線対称の位置ではなく，点Ｏを中心とした点対称の位置になっていると判断できる。アとウの関係の説明には，下記の３段階のレベルが考えられる。 　［レベル１］ 動かしてみたら点対称だということがわかる。 ＜直観的な判断のみ＞ 　［レベル２］ アを回転させると、点Ｅは常に点Ｏに対して点Ａとちょうど等しい距離で反対側にあり、点Ｆと点Ｂも同じことが言えるから、アとウは点Ｏを対称の中心とした点対称の位置関係にある。 ＜具体的に対応する点を用いた説明（図５）＞ 　［レベル３］ 線分ＡＥと線分ＢＦをかくと、その交点は点Ｏと一致し、それぞれの線分の中点になっているから、アとウは点Ｏを対称の中心とした点対称の位置関係にある。 ＜線分をかきいれて計測に基づいた説明（図６）＞ 　１年では、［レベル２］を、互いの位置関係について根拠に基づいて説明できた姿と考える。 　さらに、点Ｏを点対称の中心としてアからウを作図した結果、イとウは線対称の関係になっている。場合によっては「アとイの対称軸とイとウの対称軸は90°で交わっているので、結局アを180°回してウを作図したことと同じで、ウはアを点対称に移した場合と同じになっている」という説明も期待できる。 ３．　授業の展開（本時は全11時間扱い中の第６時） 学習活動 予想される生徒の反応 ◇教師の指導・援助 １． 問題を確認し，追究方法の見通しをもつ。 ［問題］ 　右の図は，作図した麻の葉模様の一つです。を用いてどのようにして作図したのでしょうか。 ◇ 具体的に図形を示しながら，問題を提示する。 ◇ 学習問題に対する生徒の疑問点や追究方法の見通しを発表させる。 ２． 友達が作図した麻の葉模様について，もとになる二等辺三角形を動かしながら観察したり友達と意見交換したりして，位置関係を判断する。 ア． いろいろな作図方法が考えられるから，作図した本人にしかわからないと思う。 イ． とのように，このままの状態では線対称とも点対称ともいえるので，どちらか一つに判断できない部分もある。   ウ． の二等辺三角形を動かしてみれば，それに伴って他の三角形も動くはずだから，判断できると思う。 ［課題］ 　の三角形を動かしながら変形の様子を観察して，友達の作図方法を調べよう。 〈追究の例〉 エ． を左へ動かすと，他の三角形も中心から離れるように動く。〜はどれもと線対称の位置に移してあるようだ。 オ． を回すと，とはと線対称になっているけれど，，，は線対称になっていない。 カ． とは，線分ｍを線対称の軸とした線対称の位置関係になっている。 キ． とは，麻の葉模様の中心Ｏを点対称の中心とした点対称の位置関係になっている。 ク． の位置を変えたり回したりしても，とは，それぞれとと線対称の位置関係になっている。 ケ． を動かすとも動くが，位置関係は見抜けない。 コ． とは，線対称の位置関係になっているから，を線対称でへ移し，さらに線対称でへ移したことになっている。 ◇ ウの発言がない場合には，前時の作図した過程を想起させ，二等辺三角形の動きに着目させる。 ◎ 線対称な図形と点対称な図形の性質を想起する。 ◇ 既習内容の定着が不十分な生徒には，これまでワークシートを用いて調べさせることにより，対称図形の性質を振り返らせる。 ◇ 線対称の軸や点対称の中心に着目できない生徒には，特定の三角形について動いたときの軌跡が残るように教師が設定することにより，その軌跡を観察させる。 ◇ 判断した位置関係について，作成者と意見交換を行わせながら，判断の妥当性を吟味させる。   ３． 追究結果を発表し，を動かすことによって変わるものと変わらないものがあることをまとめる。 サ． わたしはを作図するために，麻の葉模様の中心を対称の中心として点対称の位置に移したけど，友達にを線対称の位置に移したのではないかと言われた。確かにそういう位置関係にもなっていた。 シ． 最初はみんな同じ図形だったけれど，動かしながら観察したら，それぞれが違う動きをして驚いた。でも，動かしながら観察することで，三角形同士の位置関係は変わらないことがわかった。 ス． 自分が作図した方法はわかっていたけれど，結果としてできあがった図形について，友達と意見を交換しているうちに自分では気づいていなかった三角形同士の位置関係に気づくことができた。 セ． との対称軸ととの対称軸が垂直に交わっているから，結局180°回したことと同じで，と点対称にした場合と同じになっている。 ◇ 「線対称な図形の性質」や「点対称な図形の性質」を組み合わせて作図していることに気づいた生徒を取り上げる。 ◎ 観察した２つの二等辺三角形について，線対称の軸や点対称の中心の位置を決める。 ４．　授業における具体場面 　Ａさんは，Ｂ君が作図した麻の葉模様について，とはいずれもを基にして，は線対称の性質を，は点対称の性質をそれぞれ用いて作図したのだろう考え，Ｂ君と意見交換を行った。 Ａさん 「は，線対称の性質を使ってから作図したのですよね。」 Ｂ　君 「いいえ，はの線対称です。との間の線（図７のｍ）を軸とした線対称として作図しました。」 Ａさん 「との間の線（図７のｍ）で線対称にできるのですか？どうやってできるのですか。」 Ｂ　君 「から線対称の性質を使って作図しました。」 Ａさん 「あ，そうか。わかりました。でも，位置関係とすれば，わたしの判断も正しいですよね。計測すると線対称の性質がいつも成り立つから。」 ・ 図形を動かしたとき，図７の計測値が変わっても対称軸からの距離が等しくなることは，変わらないことを画面上で実際に示しながら説明。 Ｂ　君 「そうですね。自分では気づかなかったけれど，言われてみると確かにＡさんの判断した位置関係も正しいです。」 教　師 「どのようなことがわかりましたか。」 Ａさん 「は合っていたけれど，は違っていました。」 教　師 「どうして違っていたかのわかりましたか。」 Ａさん 「は線対称の性質を使ってから作図したのだと思ったのですが，Ｂ君は線対称の性質を使ってから作図したということです。でも，作図のしかたは違っていても，とは線対称の位置関係だということは間違っていないということがわかりました。とても不思議な感じがしました。」 【考察】 Ａさんは，ペアのＢ君の作図方法を見ぬくためにＧＳＰで図形を動かしながら考察した。図８の軌跡で示したような図形の動き方からをから線対称の性質を用いて作図したのだろうと判断したが，Ｂ君はから線対称の性質を用いてを作図したことを，線対称の軸を示しながら説明した。Ａさんは，Ｂ君の説明に納得しながらも，自分が判断した位置関係も正しいと言えることを計測値を用いて説明した。 　本単元の学習を終えたＡさんは，下記のように感想をまとめた。単なる興味で図形を動かしてみただけでなく，この学習を通して図形を動かしながら観察することによって，図形の位置関係を見抜くことができるよさを実感できたことがうかがえる。 ５．　授業の成果と課題 　この授業を通して，主に次のような成果と課題が明らかになった。 　○ 問題を解決した後，解決までの過程を振り返らせたことは，結論を導いた根拠を説明させるために有効であることが明らかになった。 　○ 作図ツールを利用させ，図形を動かしながら観察させたことは，図形の性質や構成の様子を判断させるうえで有効であることが明らかになった。 　○ 観察から生じる疑問を基に，根拠を挙げて説明する必然性がやや弱かった。生徒が証明の必要性を感じて図形の性質を明らかにしていく指導のあり方について検討する必要がある。 　なお，作図のしかたを覚えること，図形の名称を覚えること，面積や体積の求め方を理解することなども大切だが，それ以上に図形を様々な観点をもって観察し，考察する学習は，論理的思考力を育成する上で不可欠である。作図ツールを用いて図形を動的に観察することの効果は，実践を通して少なからず紹介されている。生徒自身が図形を動的に観察しながら，じっくり考えるような授業を行いたいものである。１年の時期にこのような学習を行っておくことが，いずれは論証の力にも影響するものと考えられる。教師自身が研鑽を積み，生徒が意欲的に取り組む授業を目指したい。