愛知県知多市立中部中学校 片岡　和也

１．はじめに 　本校では，２年で選択教科として「数学」を２講座開設している。『課題学習』と『補充的な学習』がそれぞれ１講座ずつである。『課題学習』の講座を選択している生徒は30名で，男子20名，女子10名である。数学を好きな生徒ばかりではない。嫌いな生徒も多いが，「数学を好きになりたい」「計算が得意になりたい」などの気持ちを持っている。 　そこで，生徒が主体的に課題に取り組み，ねばり強く解決していく中で数学的な見方や考え方を身につけさせていきたいと考えて，以下に紹介する授業を実践した。 ２．授業実践 ＜実践１＞　パズルの塔   ○ 教材の内容 ・ 使用機器：３ＤＯインタラクティブマルチプレーヤー ・ ソフトウェア： 『パズルの塔』（ＴＢＳ，ＴＢＳビジョン，ホリプロ，博報堂） ※問題作成：ピーター・フランクル 　この「パズルの塔」の中には，次に示すような11種類の問題がある。「魔法陣」「小町算」「偽金探し」など，数学の歴史の中によく出てくるものも多く，選択数学や課題学習で取り扱うのに適している。 (1) 【Make Me One Hundred】 (2)【Cut Me】 (3)【Add Me】 与えられた数字と，たす・引く・かける・割る・括弧のいずれかの記号を使って，計算結果が100になるようにする問題である。 並んでいる剣を使って図形を分ける問題である。このとき分けた部分が同形になるようにする。剣は回転することができる。 数字が書かれたピースを，縦・横・斜めの数字の合計が同じになるように枠の中の空いているところに入れていく問題である。 (4)【Measure Me】 (5)【Sign Me】 (6)【Complete Me】 カップを使って，樽の中のワインを指定した量だけボトルに入れる問題である。 数字の間の空いているところにプラスまたはマイナスの記号を入れて，式を完成させる問題である。 空いている欄に数字の札を置いて，巻物の中の数字の数を文章と一致させる問題である。 (7)【Find Me】 (8)【Fill Me】 (9)【Make Me Red】 たくさんの金貨の中に混じっている１枚の偽物を天秤を使って探し当てる問題である。ただし，偽物の金貨は，本物より重いか軽いかは分かっていない。 枠の外に置かれているピースを，重ならないように枠の中にぴったりとはめ込む問題である。ピースは回転させることができる。 すべての帽子の色を赤に変える問題である。ただし，１つの帽子を赤くすると，隣り合った帽子も赤くなる。このとき，隣の帽子がすでに赤いときは白に戻る。 (10)【Place Me】 (11)【Turn Me On】 数字が書かれたボールを穴の中に入れる。このとき，隣り合ったボールの数字の差と同じ数字のカードが，自動的にボールの間に置かれる。すべてのカードがうまく当てはまるように，すべての穴にボールを入れる問題である。 並んでいるすべてのロウソクに火をつける問題である。ただし，１本のロウソクに火をつけると，その上下左右のロウソクにも同時に火がつく。もし，あるロウソクにすでに火がついているときには，逆に火が消えてしまう。   ○ 授業の実際 　11種類の中から５問ずつ，やさしい問題から出題される。 ５ステージ（５問×５ステージ＝25問）が終了すると，卒業試験の１問が最後に出題される。これが，初級・中級・上級の３段階設定されているので，全部で問題数は78問である。 　(8)【Fill Me】の中には，「ペントミノ」としてよく知られているものもある。そのピースはプラスチック製のものが販売されているので，それを購入して，マルチプレーヤーで操作をする生徒以外の者が考えるときの助けとなるようにした。生徒にとって，この【Fill Me】が11種類の問題の中で一番むずかしかったようである。６×10の長方形から，５×12，４×15，３×20の長方形と進むにつれて苦戦していた。しかし，時間はかかっていたが，あきらめずにねばり強く取り組んでいた。 　また，(11)【Turn Me On】もむずかしいが，試行錯誤しながら解いていた。並んでいるロウソクと同じ配列を表にして，火をつけたところには○印を記入し，その上下左右には「正」を記録する。全部のますが奇数になれば火がついていることになり，どのロウソクに火をつけたかもよく分かる。 　(8)【Fill Me】と(11)【Turn Me On】以外にもむずかしい問題はあるが，やさしい問題からむずかしい問題へと進むうちに，その解き方が分かるようになってきた生徒がほとんどであった。 　そして何よりも，生徒たちは選択の授業時間になると，素早く準備に取りかかり，50分間熱心に取り組んでいた。 　次の書籍にも類題があったので，参考資料として使い，考えるきっかけにさせた。 　　『ピーター・フランクルのらくらく数学パズル塾』(朝日新聞社) 　　　・(4)【Measure Me】…… p.37　　　・(7)【Find Me】……p.31 　　『ピーター・フランクルのひらめき発想パズル』(朝日新聞社) 　　　・(6)【Complete Me】……p.19　　　・(11)【Turn Me On】……p.87 ＜実践２＞　フィボナッチ数列   ○ 算盤の書の中のうさぎの問題（１学期） 　生まれたばかりの１つがいのうさぎは，２か月目から毎月１つがいのうさぎを産むとする。すべてのうさぎがこの規則にしたがい，死ぬことはないとするとき，１つがいのうさぎは，１年後には何つがいのうさぎになるか。 　この問題の「２か月目から毎月１つがいのうさぎを産む」というところで，混乱している生徒が多かった。   ○ ヒマワリの種の並びの渦の数（５月，９月） ・ 種まき … ５月に生徒が花壇を整備し，みんなでヒマワリの種をまいた。 ・ 収穫 … ２学期が始まる９月に熟したヒマワリの実（種の集まり）を生徒に収穫させる予定であったが，夏休み中に枯れてしまった。幸いにも，地域の方に熟した大きなヒマワリの実をいただくことができた。しかし，これも夏休み中のことであったので，授業が始まるまで保管するのが大変であった。カビが生えてきたのである。 ・ 渦の数 … ９月の最初の授業で，何とかヒマワリの種の並びの渦の数を数えることができた。実際にその数を数えるのは大変であったが，渦が数えやすい写真と本物との両方を使って数えると効果的であった。 　右の写真を使って数えると，中心部の右巻きの渦の数が34，その外側の左巻きの渦の数が55，右巻きの渦の数が89である。 ヒマワリの実（たくさんの種が渦巻状〈左巻きと右巻きがある〉に並ぶ。）   ○ 階段の登り方の場合の数（３月） 　一度に登れる階段の段数が１または２のとき，全部でｎ段の階段を登るのに異なる登り方は何通りあるか。 　「確率」は２年の最後に配列されているので，「場合の数」を学習した後であれば学習できる。特に，１段から順に２段・３段・４段…と数えていくと「場合の数」を数える練習にもなる。 階段の段数（段） １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 登り方の場合の数（通り） １ ２ ３ ５ ８ 13 21 34   ○ 松ぼっくりの鱗片（種鱗）の並びの渦の数 　生徒に松ぼっくりを取ってこさせて，種鱗の並びの渦の数を数える。右巻きの渦が８，左巻きの渦が13あった。授業の前日，松ぼっくりを取ってきて職員室に置いておいたら，次の日の朝，松ぼっくりが開いていた。 　パイナップルの実（たくさんの果実の集まり）については，鱗片（１個の果実）の並びの渦の数は数えなかったが，数える機会が持てると生徒は関心を持つであろう。 ３．まとめ ○ 「パズルの塔」には，むずかしい問題が多く含まれているが，生徒は準備から問題への取り組みまで意欲を持って臨むことができた。また，むずかしい問題でも途中であきらめずに，解決しようと努力する姿が見られた。やさしい問題からむずかしい問題へと進むにつれて，生徒には数学的な見方や考え方が確実に身に付いてきている。 ○ フィボナッチ数列は，身の回りの生活と関わりが深いので，生徒は意欲を持って課題に取り組むことができた。また，この学習の発展として，「黄金比」を３年の「平方根」の学習後に選択数学や課題学習で扱うことができる。 〈参考文献〉 　『自然にひそむ数学』（佐藤修一，講談社）